In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzfunktionen sind. Erforderliches Vorwissen Was ist eine Funktion? Bestandteile Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge. Funktionsgleichung Potenzfunktionen sind Funktionen, in denen die Variable $x$ in der Basis einer Potenz steht: Dabei ist $\mathbb{Z}$ die Menge der ganzen Zahlen. Warum darf der Exponent nicht gleich $0$ sein? Potenzfunktionen übersicht pdf to word. Laut den Potenzgesetzen gilt: $x^0 = 1$. Für $n = 0$ wird die Potenzfunktion folglich zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^0 = 1$. Definitionsmenge Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen. Bei Potenzfunktionen hängt die Definitionsmenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten. Wertemenge Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$ -Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form: f(x)=x n mit n∈ℤ\{0} (das bedeutet man darf alle ganzen Zahlen für n einsetzen, aber nicht die 0). Man darf die Null nicht einsetzen, da sonst immer 1 raus kommen würde, egal was man für x einsetzt, da x 0 =1 ist. Wie ihr vielleicht schon bemerkt habt, sind die quadratische und lineare Funktion ebenfalls Potenzfunktionen. Die Graphen von Potenzfunktionen unterscheiden sich, je nachdem, ob der Exponent gerade, ungerade, positiv oder negativ ist. Hier seht ihr alle Fälle: Gerader und positiver Exponent: z. B. f(x)=x 2 Gerader und negativer Exponent: z. f(x)=x -2 Ungerader und positiver Exponent: z. f(x)=x 3 Ungerader und negativer Exponent: z. f(x)=x -3 Eine Potenzfunktion der Form: f(x)=a·x n kann verschiedene Graphen beschreiben, hier seht ihr welchen Graphen sie wann abbildet: 1. Gerade (n=1) Ist n=1 so ist die Funktion linear und es ergibt sich eine Gerade. f(x)=a · x 1 =a · x 2. Potenzfunktionen | Mathebibel. Parabel (n>1) Ist n>1 so ergeben sich Parabeln, z. : f(x)= a · x 2 Man nennt diese dann Parabeln n-ter Ordnung.
Zusammenfassung: Für a n > 0 gilt: Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Sie verlaufen vom II. in den I. Quadranten. Alle Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Sie verlaufen vom III. Für a n < 0 gilt: Alle Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch. Potenzfunktionen übersicht pdf.fr. in den IV. Antworten zu den Fragen: zu a) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte ( 0 | 0) zu b)n gerade und an > 0: Der Graph verläuft vom II. zum I. n gerade und an < 0: Der Graph verläuft vom III. zum IV. n ungerade und an > 0: Der Graph verläuft vom III. n ungerade und an < 0: Der Graph verläuft vom II. zu c) n gerade: Der Graph ist symmetrisch zur y- Achse (Achsensymmetrie) n ungerade: Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatenursprung (Punktsymmetrie) zu d) n gerade und a n > 0: f(x) ≥ 0 Es gibt nur positive Funktionswerte einschließlich der Null. n gerade und a n < 0: f (x) ≤ 0 Es gibt nur negative Funktionswerte einschließlich der Null. n ungerade und a n > 0: Wertemenge W = IR n ungerade und a n < 0: Wertemenge W = IR zu e) Der Faktor an bestimmt die jeweilige Form des Graphen (gestreckt oder gestaucht), deshalb wird er auch Formfaktor genannt.
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Wie lautet die Funktionsgleichung? Testfragen zu Potenzfunktionen: a) Welche gemeinsamen Punkte haben die Graphen? b) Welchen Einfluss hat der Grad n und das Vorzeichen von a n auf den Verlauf des Graphen? c) Welchen Einfluss hat der Grad n der Potenzfunktion auf die Symmetrie des Graphen? d) Welche Wertemengen in Abhängigkeit von n und dem Vorzeichen von a n haben Potenzfunktionen? e) Welchen Einfluss hat der Betrag von a n auf den Verlauf der Graphen? Programmheft zum Game Jam "Im Heimkino" - jetzt auch auf Itch erhältlich! - 3W6 Game Jam #2: Im Heimkino (Programmheft) by CuriousCat Games. Die Antworten finden Sie am Ende der Seite. Symmetrie bei Potenzfunktionen Wie lässt sich die Symmetrie beurteilen, wenn man nur die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion kennt? Dazu zeichnen wir die Graphen folgender Funktionen: Die Vermutung liegt nahe das folgendes gilt: Für gerade Exponenten von x sind die Funktionswerte gleich. Das nennt man Achsensymmetrie, also f(-x) = f(x) Für ungerade Exponenten von x haben die Funktionswerte den gleichen Betrag aber entgegengesetztes Vorzeichen. Das nennt man Punktsymmetrie, also f(-x) = – f(x) Dieser Zusammenhang gilt für alle Potenzfunktionen (hier ohne Beweis).
Bei Potenzfunktionen hängt die Wertemenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten. Potenzfunktionen mit positiven Exponenten In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$. Sonderfall: Für $n = 1$ ist der Graph der Potenzfunktion eine Gerade ( Lineare Funktionen). Beispiel 1 Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine Parabel 2. Ordnung. Potenzfunktionen übersicht pdf. Beispiel 2 Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ ist eine Parabel 3. Ordnung. Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind. Gerade Exponenten Beispiel 3 Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^2$ und $f(x) = x^4$. Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte: $$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x & -1{, }5 & {\color{blue}-1} & -0{, }5 & {\color{blue}0} & 0{, }5 & {\color{blue}1} & 1{, }5 \\ \hline x^2 & 2{, }25 & {\color{blue}1} & 0{, }25 & {\color{blue}0} & 0{, }25 & {\color{blue}1} & 2{, }25 \\ \hline x^4 & 5{, }0625 & {\color{blue}1} & 0{, }0625 & {\color{blue}0} & 0{, }0625 & {\color{blue}1} & 5{, }0625 \end{array} $$ Die Abbildung zeigt den Graphen der Potenzfunktion $f(x) = x^2$ (= Parabel 2.
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RÄTSEL-BEGRIFF EINGEBEN ANZAHL BUCHSTABEN EINGEBEN INHALT EINSENDEN Neuer Vorschlag für Ältester Sohn Noahs (AT)? Inhalt einsenden Ähnliche Rätsel-Fragen: Ältester Sohn Noahs im A. T. Ältester Sohn Noahs im Alten Testament ältester Sohn Noahs (A. ) Ältester Sohn Noahs Weiser Berater, ältester Gelehrter eines Faches, ältester einer Gemeinschaft 2. Sohn Noahs 2. Sohn Noahs im Alten Testament Zweiter Sohn Noahs Sohn Noahs, Stammvater der Hamiten (Ägypter, Äthiopier usw. ), englisch: Schinken Sohn Noahs Sohn Noahs im Alten Testament 1.
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