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Im Frühjahr erweitert der Marktführer Wodka Gorbatschow sein Sortiment zeitlich begrenzt um ein weiteres Produkthighlight: Die neue Wodka Gorbatschow Raspberry Special Edition im leuchtend pinken Look soll ab April für neue Kaufimpulse sorgen. Raspberry ist der zweitbeliebteste Frucht Flavour in Deutschland nach Citron. Long Island Ice Tea - Das beste Rezept für deinen Cocktail | Edlerschnaps. Eine logische Ergänzung für das Sortiment von Wodka Gorbatschow, die als absatzstärkste Spirituose Deutschlands mit der neuen Special Edition einmal mehr ihr Trendgespür unter Beweis stellt. "Mit ihrem fruchtigen Himbeer-Flavour und dem pinken Flaschendesign soll die neue Special Edition neben unseren Stammkäufern auch neue Zielgruppen ansprechen", so Jan Rock, Global Head of Corporate Communications bei Henkell Freixenet. Geschmacklich überzeugt Wodka Gorbatschow Raspberry auf ganzer Linie: Die außergewöhnliche Reinheit und der einzigartig milde Geschmack entstehen durch den Prozess der vierfachen Kältefiltration, der in der bewährten Tradition seit jeher für höchste Produktqualität steht.
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. In diesem Kapitel schauen wir uns die Permutation mit Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet: Wie viele Möglichkeiten gibt es, nicht voneinander unterscheidbare Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Definition Formel Herleitung Im Kapitel zur Permutation ohne Wiederholung haben wir gelernt, dass es $n! $ Möglichkeiten gibt, um $n$ unterscheidbare (! ) Objekte auf $n$ Plätze zu verteilen. Sind jedoch $k$ Objekte identisch, dann sind diese auf ihren Plätzen vertauschbar, ohne dass sich dabei eine neue Reihenfolge ergibt. Folglich sind genau $k! $ Anordnungen gleich. Die Anzahl der Permutationen von $n$ Objekten, von denen $k$ identisch sind, berechnet sich zu $$ \frac{n! }{k! } $$ Gibt es nicht nur eine, sondern $s$ Gruppen mit jeweils $k_1, \dots, k_s$ identischen Objekten so lautet die Formel $$ \frac{n! }{k_1! \cdot k_2! \cdot \dots \cdot k_s! }
Aber auch das folgende Beispiel fällt in diese Kategorie, auch wenn nicht auf den ersten Blick zu sehen ist, worin die Wiederholung besteht. Beispiel 2: Ein Skat-Spiel besteht aus 32 (unterscheidbaren) Karten. Nach dem Mischen erhalten die drei Spieler je 10 Karten und 2 Karten verbleiben im Skat. Wie viele unterschiedliche Kartenzusammensetzungen für ein Spiel gibt es? P=32! /(10! ·10! ·10! ·2! )= 2, 75·10 15 verschiedene Kartenkombinationen sind möglich, d. die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von zwei gleichen Spielen ist äußerst gering! Die Anwendung der Permutation mit Wiederholung ist im Beispiel 2 darauf zurückzuführen, dass es für das Spiel unbedeutend ist, in welcher Reihenfolge die jeweils 10 Karten der Spieler oder der 2 Karten des Skats gegeben wurden. Die Anzahl dieser Permutationen vermindert die Anzahl der Gesamtpermutationen. Beispiel 3: Wie viele mögliche Kartenverteilungen im Skat gibt es? P = 32! /(30! ·2! ) = 32·31/2 = 496
B. 2 aus 3 oder 6 aus 49; das wären Variationen (wenn es auf die Reihenfolge ankommt) bzw. Kombinationen (wenn die Reihenfolge egal ist wie beim Lotto)). Permutation mit / ohne Wiederholung Permutation ohne Wiederholung In dem obigen Beispiel waren alle 3 Kugeln durch die Nummerierung eindeutig unterscheidbar und dieses Modell wird als "Permutation ohne Wiederholung" bezeichnet und wie oben als Fakultät der Anzahl der Elemente berechnet. Permutation mit Wiederholung Beispiel: Permutation mit Wiederholung Wären die Kugeln in dem obigen Beispiel nicht eindeutig unterscheidbar, sondern wären z. 2 Kugeln schwarz und eine Kugel weiß, bezeichnet man dieses Modell als "Permutation mit Wiederholung". Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese anzuordnen? Man kann die Möglichkeiten wieder abzählen: schwarz schwarz weiß schwarz weiß schwarz weiß schwarz schwarz Als Formel: 3! / (2! × 1! ) = 6 / 2 = 3 (Möglichkeiten der Anordnung). Dabei ist 3 die Anzahl der Kugeln, 2 die Anzahl der schwarzen Kugeln und 1 die Anzahl der weißen Kugeln.
Was ist Permutation Permutation ist die Gesamtheit der möglichen Kombinationen von Elementen einer gegebenen Menge Formel der Permutation lautet Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk! ) Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen bei der Permutation Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander. Es müssen alle Elemente ausgewählt werden. Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden. Merke Dir: Permutationen mit und ohne Wiederholung (Anzahl der Reihenfolgen für eine bestimmte Ziehung): Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk! ) ⇒Wenn alle Kugeln verschieden sind (Permutationen ohne Wiederholung), gilt: Pn= n! Kombinationen ohne Wiederholung (Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. ): ⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (ohne Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln: Cn, k= (nk) = n! / (k! ·(n–k)! ) Kombinationen mit Wiederholung (Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Die Möglichkeiten sind aber nicht gleichwahrscheinlich! ): ⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (mit Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln: Cn, k= (n–1+kk) = (n–1+k)!