Was passiert, wenn der Exponent null ist? Wir wissen nun, was positive und negative Exponenten bedeuten. Doch was passiert, wenn der Exponent null ist? $ a^0$ Auch hier kann uns die Divisionsregel helfen - dieses Mal gehen wir umgekehrt vor: Was bedeutet es, wenn bei der Division zweier Potenzen mit der gleichen Basis als Ergebnis $a^0$ rauskommt? $ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ Methode Hier klicken zum Ausklappen Achtung: dein Vorwissen ist gefragt! Und schon wieder brauchen wir dein Vorwissen: Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer eins. $ \frac{2}{2} = 1$; $\frac{2^5}{2^5} = 1$ Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit dem Exponenten 0 ergeben als Ergebnis (Potenzwert) immer eins. Also: $ a^0 = 1$ Dieses Wissen können wir auch anwenden, um die Definition eines negativen Exponenten nochmals zu veranschaulichen: $ \frac{1}{2^2} = \frac{2^0}{2^2} = 2^{0-2} = 2^{-2}$ Nun hast du die Sonderfälle von Potenzen mit negativen Exponenten und dem Exponenten Null kennengelernt.
Wie du Potenzen mit negativen Exponenten berechnest Video wird geladen... Cartoon-Mod von Michael Roos Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Video Zeige im Fenster Drucken Potenzen mit negativen Exponenten Wie du Potenzen umformst, sodass negative Exponenten vorkommen Potenzen so umformen, dass negative Exponenten vorkommen Wie du Potenzen umformst, sodass nur noch positive Exponenten vorkommen Potenzen so umformen, dass nur noch positive Exponenten vorkommen Potenzen mit negativen Exponenten
$$(a^m)^n=a^(m*n)$$ Negative Exponenten Auch beim Potenzieren von Potenzen sind negative Exponenten erlaubt. Beim Potenzieren von Potenzen kann eine der beiden Hochzahlen negativ sein. Dann ist das Produkt der beiden Hochzahlen, also die neue Hochzahl, auch negativ. $$(2^3)^(-2)=1/(2^3)^2=1/2^6=2^(-6)$$ Genauso: $$(2^(-3))^2=(1/(2^3))^2=1/2^3*1/2^3=1/2^6=2^(-6)$$ Wenn beide Hochzahlen negativ sind, ist das Produkt positiv: $$(2^(-3))^(-2)=1/(2^(-3))^2=1/(1/(2^3))^2=1/(1/2^6)=2^6$$ Die Regel für's Potenzieren gilt also auch für negative Hochzahlen. Wende die Vorzeichenregeln an: $$(2^3)^(-2)=2^(3*(-2))=2^(-6)$$ $$(2^(-3))^2=2^((-3)*2)=2^(-6)$$ $$(2^(-3))^(-2)=2^((-3)*(-2))=2^6$$ Willst du Potenzen mit negativen Hochzahlen potenzieren, multipliziere die Hochzahlen und wende die Vorzeichenregeln an. $$(a^m)^n=a^(m*n)$$ Die Vorzeichenregeln: $$+$$ mal $$+$$ ergibt $$+$$ $$+$$ mal $$-$$ ergibt $$-$$ $$-$$ mal $$+$$ ergibt $$-$$ $$-$$ mal $$-$$ ergibt $$+$$ Rangfolge bei Rechenarten Dir kommt eine wichtige Regel wahrscheinlich schon aus den Ohren: "Punkt- vor Strichrechnung".
Zum einen wird der Exponent immer kleiner: $... ;~4;~3;~2;~1$. Zum anderen wird der Potenzwert immer halbiert: $... ;~16;~8;~4;~2$. Wie könnte es nun weitergehen? Wenn du den Exponenten nochmal um $1$ verringerst, erhältst du $0$. Den zugehörigen Potenzwert erhältst du, indem du $2$ halbierst, also $2:2=1$. Damit ist $2^{0}=1$. Verblüffend. Gib $2^0$ doch einmal zur Kontrolle in deinen Taschenrechner ein. Übrigens: $a^{0}=1$ für alle $a\neq 0$. Vermindere den Exponenten nun nochmal um $1$ zu $-1$. Dann musst du auch den Potenzwert halbieren zu $1:2=0, 5$. Dann ist $2^{-1}=\frac12=0, 5$. Du kannst also die obige Liste weiterführen, allerdings nicht mehr mit der Schreibweise als Produkt: $2^{0}=1$ $2^{-1}=\frac12=0, 5$ $2^{-2}=\frac1{2^{2}}=0, 25$... Ganz allgemein gilt für Potenzen mit negativen Exponenten: $a^{-n}=\frac1{a^{n}}$. Dabei muss allerdings immer $a\neq 0$ gelten. Im Zähler steht immer die $1$ und im Nenner die Potenz selbst. Allerdings vertauschst du beim Exponenten das Vorzeichen.
$$x^3:x^5=x^(3-5)=x^(-2)$$ Zwei Potenzen werden dividiert, indem du die Exponenten subtrahierst.
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