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Rechnen mit Komplexen Zahlen Darstellungsarten komplexer Zahlen Es gibt drei Darstellungsarten für Komplexe Zahlen: Die Komponentenform, die trigonometrische Form und die Eulersche Form mit ihren Vor- und Nachteilen. Hier lernen Sie, wie man Komplexe Zahlen in eine Darstellungsart überführt. Komplexe Zahlen - Darstellungsarten - Komponentenform - Trigonometrische Form - Eulersche Form Umrechnung Komponentenform in Trigonometrische Form: Ι Z Ι = r = √ (x 2 + y 2) mit x = r cosϕ und y = r sinϕ => Z = r (cos ϕ + i · sin ϕ) und φ = arctan (y/x) sind die x- und y- Koordinaten klar definiert. Herleitung Eulersche Form für Komplexe Zahlen: Mac Laurinschen Reihe für e ϕ: e ϕ = 1+ φ + φ 2 + φ 3 + φ 4 +…. 1! 2! 3! 4! Ersetze φ durch j·φ, so erhält man: ej ϕ = 1+ jφ + (j φ) 2 + (j φ) 3 + (j φ) 4 +… = 1+ jφ - φ 2 - j φ 3 + φ 4 +… =. 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4! ej ϕ = 1 - φ 2 + φ 4 + j ( φ - φ 3 + φ 5 -…). 2! Komplexe zahlen division formel. 4! 3! 5!. |_________| |___________| cos φ sin φ (nach Definition der Sinus- und Kosinus-Reihe) => ej ϕ = cos φ + j sinφ bzw. mit Berücksichtigung der Länge des Zeigers folgt: Z = r × e i ϕ Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Normalform durchgeführt.
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in ihren Real- und Imaginärteilen gleich sind. Eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil gleich null ist ein Element der reellen Zahlen. Eine komplexe Zahl mit dem Realteil gleich null ist ein Element der imaginären Zahlen. Zwei komplexe Zahlen sind konjugiert komplex, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.
Dabei werden einfach deren Realteile und Imaginärteile addiert oder subtrahiert: Z 1 = a + i·b => Z 1 + Z 2 = (a + c) + i (b + d) Z 2 = c + i·d Z 1 - Z 2 = (a - c) + i (b - d) Multiplikation und Division komplexer Zahlen Die Multiplikation bzw. Division komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Exponential- oder Polarform ausgeführt. Hier sind bei der Multiplikation die Beträge zu multiplizieren und die Winkel zu addieren. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert: Multiplikation - Division Komplexer Zahlen Konjugiert komplexe Zahlen Wird der Zeiger einer komplexen Zahl an der reellen Achse gespiegelt, so erhält man den Zeiger der konjugiert komplexen Zahl. Komplexe zahlen division iv. Dabei wechselt nur die imaginäre Komponente das Vorzeichen. Bemerkung: Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt ein reelles Ergebnis. Damit können komplexe Anteile aus einem Gleichungssystem entfernt werden. Merke: Bei komplexen Zahlen sind die Begriffe 'größer als' oder 'kleiner als' nicht definiert.
Paul Erdös Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden. Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel. : 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: cο@maτhepedιa. dе
z 1 ⋅ z 2 = ( x 1 + i y 1) ( x 2 + i y 2) = ( x 1 x 2 − y 1 y 2) + ( x 1 y 2 + x 2 y 1) i z_1\cdot z_2=(x_1+\i y_1)(x_2+\i y_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+ (x_1y_2+x_2y_1)\i schreiben. Damit können wir wie mit den reellen Zahlen rechnen, wobei wir die Klammern ausdistributieren und die Regel i 2 = − 1 \i^2=-1 anwenden.
Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen. \(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi}} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi}} \cr & {e^{i\varphi}} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\) Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler'sche Form einer komplexen Zahl. Rechenbeispiele zu komplexen Zahlen - Mathepedia. \({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\) Umrechnung von komplexen Zahlen Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler'sche Darstellung an.
Dadurch kann das i im Nenner gekürzt werden und der Nenner wird eine reelle Zahl. Nur im Zähler bleibt eine komplexe Zahl, die aber leicht ausmultipliziert werden kann. Das ist die übliche Vorgehensweise, wenn man das Ergebnis in real- und Imaginärteil haben möchte. Der Nenner ist reell, dadurch ergibt sich alles durch den Zähler.