Gauß-Jordan-Algorithmus Definition Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus kann zum einen eine inverse Matrix berechnet werden (siehe Beispiel 1 unten). Grundidee: A × I = E (in Worten: Matrix mal Inverse der Matrix gleich Einheitsmatrix). Zum anderen können damit lineare Gleichungssysteme gelöst werden (siehe Beispiel 2 unten). Lösen linearer Gleichungssysteme mit Gauß-Jordan-Algorithmus | virtual-maxim. Beispiele Beispiel 1: Inverse einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen Folgende Matrix soll invertiert werden: $$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&0 \\ 2&2&0 \\ 0&2&1 \end{array} \right)$$ Schritt 1: neben die (zu invertierende) Matrix rechts die Einheitsmatrix schreiben: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 2&2&0&0&1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$ Schritt 2: durch Umformungen die Einheitsmatrix nach links bringen, dann steht als Ergebnis rechts die inverse Matrix. Mögliche Umformungen: Multiplikation von Zeilen mit einer reellen Zahl ungleich 0; Addition oder Subtraktion von Zeilen; Addition oder Subtraktion einer zuvor mit einer Zahl ungleich 0 multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.
Wir müssten in der zweiten Zeile die zweite Zahl, also die -7 auf 1 bringen. II = II / (-7) Aus -8 muss 0 werden. Also: III = III -(-8)*II = III + 8*II An dieser Stelle sehen wir bereits, dass c=-3 ist. Man könnte jetzt a und b durch Einsetzen bekommen, aber das ist nicht der Sinn dieses Beispiels. Es geht weiter. Schritt 5: Die Matrix hat jetzt eine Treppenstufenform bzw. konkret sogar eine Dreiecksform. Algorithmensammlung: Numerik: Gauß-Jordan-Algorithmus – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. An dieser Stelle beginnt der Algorithmus von vorne mit unterer rechter Zahl (-1) als Ausgangspunkt. Entfällt, da -1 ungleich Null ist. III = III / (-1) Wir wiederholen das Spiel in dem wir versuchen die Zahlen oberhalb der letzten unteren Zahl zu eliminieren. I = I – 3*III II = II – III Man beginnt den Algorithmus von vorne mit 1 in der Mitte als Ausgangspunkt. Schritt 1 und 2: Entfallen. I = I – 2*II Damit hat die Matrix eine Diagonalform. Wir könnten auch schreiben: 1a + 0b + 0c = 3 0a + 1b + 0c = 2 0a + 0b + 1c = -3 Was direkt der Lösung a=3; b=2; c=-3 entspricht. Wenn man die Zwischenschritte weg lässt, dann wird deutlich, wie wenig Schreibarbeit so ein Lösungsweg braucht.
Das Gaußverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewandt. Gauß jordan verfahren rechner football. Die Koeffizientenmatrix wird so umgeformt, dass unter der Diagonalen nur noch Nullen stehen, sie ist dann in Zeilenstufenform: Mit dieser Form lassen sich nun ganz einfach von unten nach oben die Einträge des Lösungsvektors berechnen. Beispiel Im Folgenden wird dir die Vorgehensweise beim Gaußverfahren mithilfe eines Beispiels erklärt. Nimm an, du hast folgendes Gleichungssystem gegeben: Zunächst solltest du es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben: Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren um die beiden Einträge, die jetzt orange markiert sind auf null zu bringen. Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile ab ( I I − 2 ⋅ I) \left( \mathrm{II}-2\cdot\mathrm{I}\right). Anschließend ziehst du von der dritten Zeile die erste Zeile mit 3 2 \dfrac32 multipliziert ab ( I I I − 3 2 ⋅ I) \left( \mathrm{III} - \frac32 \cdot\mathrm{I}\right): Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht Null ist, in der Matrix ist er grün markiert.
), :2 (dividiert die betreffende Zeile durch 2), *(-10) (multipliziert die Zeile mit -10), Tausch mit III (tauscht die betreffende mit der 3. Zeile), alternativ: =III und =II oder nur III und II in 2. und 3. Zeile. Es knnen mehrere Schritte gleichzeitig veranlat bzw. durchgefhrt werden. Das Programm versteht Brche, wobei man den Bruchstrich mit / eingibt. Kommazahlen werden nach Mglichkeit in Brche umgewandelt. Es ist allerdings ratsam, ganzzahlig zu rechnen, d. h. gegebenenfalls zunchst alle Zeilen mit dem KGV der jeweiligen Nenner zu multiplizieren und bei Bedarf erst am Ende wieder durch die Diagonalelemente zu dividieren. Online-Rechner: Gauß Verfahren für lineare Gleichungsysteme mit einer beliebigen Anzahl von Variablen. © Arndt Brnner, 31. 3. 2020 Version: 2. 4. 2020
In der Schule lernt man einige Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Jeder hat schon mal von Einsetzungsverfahren gehört, aber nur wenige von Gauß-Jordan-Algorithmus. Damit lässt sich ein LGS meistens schneller lösen als mit herkömmlichen Lösungsverfahren. Zudem spart man sich damit einiges an Schreibarbeit und macht folglich weniger Fehler, denn jeder weiß, dass je länger die Rechnung ist, um so mehr Fehler sich einschleichen. Ich werde hier Anhand einiger Beispiele zeigen, wie Gauß-Jordan-Algorithmus funktioniert. Matrixschreibweise Ein typisches LGS: -2a – 4b – 6c = 4 3a – b + 2c = 1 4a + 3c = 3 Zuerst schreibt man die Gleichungen in eine Matrixform um. Jede Zeile der Matrix enthält die Koeffizienten aller Unbekannten der jeweiligen Gleichung. Der Wert nach dem Trennstrich entspricht dem konstanten Term in einer Gleichung. Durch diese Darstellung spart man sich etwas an Schreibarbeit und bekommt eine bessere Übersicht. Elementare Zeilenumformungen Die Matrixschreibweise ist erst mal nur eine andere Form des LGS, d. Gauß jordan verfahren rechner wife. h. man kann darauf bereits aus der Schule bekannte Elementarumformungen anwenden.