Das arithmetische Mittel bzw. der Mittelwert ist der wohl bekannteste statistische Kennwert, und auch du hast es sicher schon ausgerechnet. Wir erklären dir hier, was du dazu wissen musst. Arithmetisches Mittel: Was ist das überhaupt? In der Umgangssprache bezeichnet man als arithmetisches Mittel den Durchschnitt. Diesen hast du sicher schon einmal gebidelt, zum Beispiel, wenn du deinen Zeugnisdurchschnitt gerechnet hast. Man benutzt diesen Wert, um eine Aussage über eine Menge an Merkmalsträgern zu machen, ohne alle einzelnen Daten aufzulisten. Beispielsweise könntest du sagen, dass es im Juli im Durchschnitt 26 Grad warm ist. Das sagt nichts darüber aus, wie warm es an den einzelnen Tagen ist. Es muss nicht einmal einen einzigen Tag geben, an dem es wirklich 26 Grad warm ist, aber die Abweichungen nach oben und unten sind in Summe gleich groß. So weißt du zwar nichts über die Temperatur am 17. Juli, aber du kannst die Temperatur zumindest ungefähr einschätzen und weißt, dass du keinen Wintermantel brauchst.
In diesem Fall betrifft dies insbesondere das Vorliegen eines metrischen Skalenniveaus. SPSS berechnet das arithmetische Mittel fälschlicherweise also nicht nur für Schulnoten, sondern auch für Telefonnummern oder Geschlechter (falls diese mit Zahlen codiert sein sollten) – auch wenn die Ergebnisse vollkommen sinnbefreit sind. Als ganz besonders gefährlich dürfen dabei übrigens solche Fehler betrachtet werden, die – zumindest oberflächlich gesehen – sinnvolle Ergebnisse darzustellen scheinen (wie eben das arithmetische Mittel aus Schulnoten). Beim Einsatz von Software ist daher entscheidend, dass der Anwender / die Anwenderin über die Methodenkenntnisse verfügt, um beurteilen zu können, wann eine Methode zulässig ist. Beispielrechnungen Arithmetisches Mittel Für eine Gruppe von Studierenden liegt folgende Altersverteilung vor: Das arithmetische Mittel berechnet sich in diesem Fall wie folgt: 21+21+21+21+21+22+22+22+22+23+23+23+24+24+24+24+25+25+25+25 = 458 458 / 20 = 22, 9 Alternative Vereinfachung: (21*5) + (22*4) + (23*3) + (24*4) + (25*4) = 458 Das arithmetische Mittel liegt somit bei 22, 9 Jahren.
Ist diese Vorbedingung erfüllt, berechnet sich das arithmetische Mittel durch die Bildung der Summe aller Werte einer Verteilung sowie durch die anschließende Division dieser Summe durch die Gesamtzahl der aufaddierten Werte: mit: x i = Einzelner Wert der Verteilung n = Anzahl der Werte der Verteilung Arithmetisches Mittel bei klassierten Daten Neben der "einfachen" Berechnung des arithmetischen Mittels kann für die eine oder andere Klausur durchaus auch noch die Berechnung des arithmetischen Mittels bei klassierten Daten von Relevanz sein. Hierfür wird auf folgende Formel zurückgegriffen: f i = Relative Häufigkeit der Klasse i m i = Klassenmitte der Klasse i k = Anzahl der Klassen Robustheit und getrimmtes arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel wird von (univariaten) Ausreißern (besonders großen oder kleinen Werten im Datensatz) ganz erheblich beeinflusst und wird deshalb auch als "nicht robust" bezeichnet. Diesen Effekt kann man sich leicht vor Augen führen, indem man sich klarmacht, dass das arithmetische Mittel der (Mini-) Verteilung [1; 2; 3; 4] bei 2, 5 liegt, das arithmetische Mittel der Verteilung [1; 2; 3; 50] aber schon bei 14.
Berechnen wir zunächst das arithmetische Mittel der vier gegebenen Daten: $X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20}{4} = 9, 75$ $X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20 + x_{5}}{5} = 9$ Damit das arithmetische Mittel bei fünf Daten den Wert $9$ annimmt, muss die Summe der Einzeldaten $45$ sein. $2+5+12+20 + x_{5} = 45$ $x_{5} = 6$ Der fünfte Wert der Datenreihe muss eine $6$ sein, damit das arithmetische Mittel $9$ ist: $X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20+6}{5} = 9$ Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!
Dann erhaltet ihr die Note, auf der ihr gerade steht: Ihr möchtet wissen, welche Zahl ihr im Durchschnitt würfelt. Dazu würfelt ihr 10 mal. Dabei kommen folgende Zahlen raus: 1; 3; 5; 6; 2; 3; 4; 1; 6; 2. Um nun zu berechnen, was ihr im Durchschnitt gewürfelt habt, addiert ihr alle Zahlen die ihr gewürfelt habt und teilt es durch die Anzahl an Würfen, also 10: