Wenn das Massenträgheitsmoment für eine Drehachse durch den Schwerpunkt des Körpers bekannt ist, kannst du dieses mit folgender Formel für jede andere Achse bestimmen. Dabei ist der Abstand der Drehachse des Schwerpunktes zu der verschobenen Achse. Zum Steinerschen Satz haben wir ebenfalls ein Video und einen Beitrag für dich erstellt. Massenträgheitsmoment Tabelle Im Folgenden sollen die wichtigsten Formeln für Massenträgheitsmomente zusammengefasst werden. Dabei haben wir dir das Massenträgheitsmoment einer Punktmasse, eines Quaders, eines dünnen Stabes, des Vollzylinders, eines Hohlzylinders, einer Vollkugel und des Kegels zusammengefasst. 5.1 – Massenträgheitstensor eines Kegels – Mathematical Engineering – LRT. Alle Körper rotieren dabei um ihre jeweilige Symmetrieachse. Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mechanik: Dynamik
Bei einer geradlinigen Bewegung hängt die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers von der wirkenden Kraft und von der Masse des Körpers ab. Die analogen Größen bei der Rotation sind des Drehmoment und das Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist. Wie kann man das Trägheitsmoment eines Vollzylinders um die Querachse (senkrecht) ermitteln, die durch sein Zentrum verläuft? – Die Kluge Eule. Formelzeichen: J Einheit: ein Kilogramm mal Quadratmeter ( 1 kg ⋅ m 2) Allgemein gilt für das Trägheitsmoment: J = ∑ i = 1 n m i ⋅ r i 2 oder J = ∫ r 2 d m
Die obige Gleichung wird dann angewandt, wenn der Drehpunkt nicht mit dem Schwerpunkt zusammenfällt (wie in der obigen Grafik zu sehen). Sollte das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt nicht gegeben sein, so kann man dieses experimentell bestimmen: Methode Hier klicken zum Ausklappen $ J_S = m \cdot l^2 (\frac{g \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot l} - 1)$ mit $l$ Abstand von Drehpunkt zum Schwerpunkt des Körpers $m$ Masse des Körpers $g$ Fallbeschleunigung mit $g = 9, 81 \frac{m}{s^2}$ $T$ Schwingungsdauer Mit dieser Gleichung ist es möglich das Trägheitsmoment $J_S$ in Bezug auf den Schwerpunkt experimentell zu bestimmen. Schwingungsgleichung: Physikalisches Pendel - Physik. Liegt nun aber der Drehpunkt nicht im Schwerpunkt des Körpers, so muss zusätzlich der Satz von Steiner angewandt werden. Schwingungsdauer Setzen wir nun in die Eigenfrequenz $\omega = \frac{2\pi}{T}$ ein, dann erhalten wir: $\frac{2\pi}{T}= \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}$ Aufgelöst nach der Schwingungsdauer $T$ ergibt: Methode Hier klicken zum Ausklappen $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{J}{l \cdot m \cdot g}}$$ Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.
#dI_x=1/4dmR^2+dmz^2#...... (5) Schritt 3. Geben Sie den Wert von ein #dm# berechnet in (1) im Moment der Trägheitsgleichung (5), um es in Termen von auszudrücken #z# Integrieren Sie dann über die Länge des Zylinders den Wert von #z=-L/2# zu #z=+L/2# #I_x=int_(-L/2)^(+L/2)dI_x=int_(-L/2)^(+L/2)1/4M/LdzR^2+int_(-L/2)^(+L/2)z^2 M/Ldz# #I_x=1/4M/LR^2z+M/L z^3/3]_(-L/2)^(+L/2)#, Ignorieren der Integrationskonstante, weil sie ein bestimmtes Integral ist. #I_x=1/4M/LR^2[L/2-(-L/2)]+M/(3L) [(L/2)^3-(-L/2)^3]# or #I_x=1/4M/LR^2L+M/(3L) (2L^3)/2^3 # or #I_x=1/4MR^2+1/12M L^2 #
Frequenz Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: Auflösen nach $T$ und in die Schwingungsdauer einsetzen ergibt dann die Gleichung für die Frequenz eines Federpendels: Methode Hier klicken zum Ausklappen $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}$ Schwingungsfrequenz eines physikalischen Pendels Die Schwingungsfrequenz $f$ des Pendels gibt die Anzahl an Schwingungsvorgängen je Sekunde an. Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper aus seiner Ruhelage angestoßen wird. Dann ist die Sinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Cosinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn die Bewegung des Körpers nicht in der Ruhelage beginnt. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss unterschieden werden zwischen Sinus und Cosinus.