Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion Hat eine Zufallsvariable X X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( x) f(x), so berechnet sich der Erwartungswert zu E ( X) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x) d x \operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x)dx\, Der Erwartungswert existiert nur, wenn das Integral für den Erwartungswert absolut konvergent ist, d. wenn das uneigentliche Integral ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f ( x) d x \int\limits_{-\infty}^\infty \ntxbraceI{ x} f(x)dx konvergiert.
Errechnung des Erwartungswerts durch Mittelung wiederholter Zufallsexperimente Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Begriff der schließenden Statistik. Der Erwartungswert ( E ( X) \operatorname{E}(X) oder μ \mu) einer Zufallsvariablen ( X) (X) ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der Ergebnisse ergibt. Er bestimmt die Lokalisation (Lage) einer Verteilung. Erwartungswert ⇒ ausführliche & verständliche Erklärung. Er ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Das Gesetz der großen Zahlen sichert in vielen Fällen zu, dass der Stichprobenmittelwert bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergiert. Ein Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte ± ∞ \pm \infty annehmen. Definitionen Allgemein wird der Erwartungswert als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist X X eine P P -integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, Σ, P) (\Omega, \Sigma, P) nach ( R ‾, B) (\overline{\R}, \mathcal{B}), wobei B \mathcal{B} die Borelsche σ \sigma -Algebra über R ‾: = R ∪ { − ∞, ∞} \overline{\R}:=\R\cup\{-\infty, \infty\} ist, so definiert man E ( X) = ∫ Ω X d P = ∫ Ω X ( ω) P ( d ω) \operatorname{E}(X) = \int\limits_\Omega X \, dP = \int\limits_\Omega X(\omega)P(d\omega) \,.
2010, 12:28 @Lampe Dann widersprichst du Wikip edia (Ziffer 4) (was man mit guten Gründen auch tun dürfte). 23. 2010, 12:33 Mit diesem Zitat scheint mir die Frage erledigt. Die Reihe muss absolut konvergent sein. Das ist sie hier nicht. Also liegt kein definierter Erwartungswert vor. 23. 2010, 15:59 Ich leide mit Baii und fasse zusammen, was ich verstanden habe: Entkleidet von einem konstanten Faktor fällt bei der Erwartungswertberechnung der Ausdruck an. Das ist ein unbestimmeter Ausdruck, und deshalb sind Erwartungswrt und Standardabweichung nicht definiert. Wenn das richtig verstanden ist - wisili oder Huggy - bitte nochmal posten! 23. Zeitabhängiger Erwartungswert von x^2 mit Auf-/Absteiger - YouTube. 2010, 16:08 René Gruber Wenn es denn nur wäre, dann hätte man kein Problem, denn das ist ja Null. Gefordert wird aber die absolute Konvergenz von, also die Konvergenz der Reihe der Beträge, und diese Konvergenz ist offenbar nicht erfüllt. 23. 2010, 22:00 Ich korrigiere meine vorherige Zusammenfassung: Die Auswertung der Erwartungswertformel für die von Baii beschriebene diskrete Zufallsvariable liefert zwar den Wert null; das Ergebnis ist aber wegen fehlender absoluter Konvergenz (s. o. )
Für ergibt sich die Rayleigh-Verteilung. Für ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe (ähnlich der Normalverteilung). Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion und Ausfallrate [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gegeben sei eine Weibull-Verteilung [2] mit Parametern. Die Dichtefunktion ist Die Verteilungsfunktion ist Die Überlebensfunktion oder Zuverlässigkeitsfunktion, ist Die Ausfallrate ist Abweichende Parametrisierung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch, d. Erwartungswert von x 2 man. h., die Weibull-Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter und der Dichtefunktion Diese Darstellung wird häufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet, da bei dieser Parametrisierung ein Skalenparameter ist. Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Erwartungswert [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist mit der Gammafunktion. Varianz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Varianz der Verteilung ist.
Diesen kannst du wie folgt berechnen: In diesem Beispiel berechnest du den Erwartungswert so: Das bedeutet, dass du im Mittel 30 Minuten auf den Zug warten musst. Stetige Gleichverteilung - Varianz Die Varianz der stetigen Gleichverteilung kannst du mit dieser Formel berechnen: Wenn du diese Formel auf das Beispiel anwendest, erhältst du: Gleichverteilung - das Wichtigste auf einen Blick In diesem Artikel hast du eine ganze Menge zum Thema Gleichverteilung gelernt. Fassen wir noch einmal die wichtigsten Punkte zusammen: Bei der Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder möglichen Ausprägung der Zufallsvariablen gleich groß. Man unterscheidet zwischen diskreter und stetiger Gleichverteilung. Abzählbare Zufallsgrößen wie die Augensumme eines Würfels sind diskret, unabzählbare Zufallsgrößen wie die exakte Wartezeit sind stetig. Erwartungswert - lernen mit Serlo!. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung lautet: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Gleichverteilung lautet: f ( x) = 1 b - a
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