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Wenn du nur daran interessiert bist, was muss ich jetzt formal machen, kannst du jetzt ausmachen, denn jetzt erkläre ich, was das bedeutet und hinterher begründe ich auch was dazu. Was bedeutet das? Wir stellen uns erst mal eine Funktionenschar vor, die könnte z. B. Grundkonstruktionen und Ortslinien (Interaktive Mathematik-Aufgaben). so aussehen, das könnten irgendwelche Parabeln sein, die hier so im Koordinatensystem herumliegen. Da auch noch eine. Das sind also Parabeln einer Funktionenschar. Diese Funktionen haben Minima und diese Minima liegen alle auf dieser Linie hier - die hab ich schon mal gepunktet hier eingezeichnet - und unser Traum ist jetzt einen Funktionsterm anzugeben oder wie man sagt, einfach eine Funktion anzugeben, deren Graph diese Linie ist. Diese Linie muss nicht immer eine Gerade sein, die kann auch sonst irgendwie verlaufen, das ist hier nur in meinem Beispiel der Fall. Um diese Funktion zu finden, deren Graph also diese Linie ist, brauchen wir Folgendes: Wir müssen ja jedem x auf der x-Achse hier ein y zuordnen und das y soll dann Extrempunkt oder hier Minimum einer Funktion der Funktionenschar sein.
Wir geht man da formal vor. Ich zeige ganz kurz, wie das auch in den Büchern erklärt wird. Ich mache das etwas ausführlicher, in den Büchern steht es meistens sehr knapp und erklär dann hinterher noch, was es bedeutet und was da eventuelle Begründungen sind. Wir haben rein formal eine Funktionenschar fk(x) und wir wissen, wenn es jetzt um die Ortslinie der Extrema geht, dass dann die 1. Ortslinie und Ortskurve erklärt inkl. Übungen. Ableitung gleich 0 sein muss. D. h. wir haben also hier eine Gleichung fk´(x)=0. In dieser Gleichung kommen die Variablen k und x vor und dann könnten wir, hoffen wir zumindest, nach k auflösen und auf der anderen Seite steht dann ein Term, t(x) genannt hier, da steht ein Term in dem x vorkommt. Diesen Term kann ich in meine Funktionenschar einsetzen, in fk(x) anstatt k, schreibe ich jetzt einfach den Term t(x), und wenn ich jetzt hier mein x einsetze und das hier ausrechne, dann bekomme ich ein y heraus und das was ist hier steht, ist die gesuchte Ortslinie, um genauer zu sein, es ist die Funktionsgleichung der Funktion, deren Graph die Ortslinie bzw. die Ortskurve ist.
Die Schwierigkeit die wir dabei haben ist, wenn wir uns hier ein x aussuchen, dann wissen wir ja noch nicht welche Funktion, der Funktionenschar, hier an dieser Stelle ein Extremum hat. wir müssen erst wissen, welche Funktion, d. welche Funktion mit welcher Nummer, hat da überhaupt ein Extremum. Und das könnten wir hier mit dieser Gleichung herausfinden, denn wir wissen ja, eine Funktion fk hat nur dann ein Extremum, wenn die 1. Schulaufgabe: Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche. Ableitung=0 ist und wenn wir das jetzt nach k auflösen diese Gleichung hier, dann könnte es also sein, dass wir dann hier einen Term finden für den dann gilt, immer wenn wir hier ein x einsetzen, bekommen wir hier ein k raus. Also ein bestimmtes k, ein eindeutiges k und das ist dann die Funktion, die an dieser Stelle ein Extremum hat und dieses k können wir dann quasi hier einsetzen, also für diese bestimmte Funktion, rechnen wir dann den y-Wert an dieser Stelle aus und das ist dann eben auch das Extremum, also der y-Wert des Extremums in unserem Fall der y-Wert des Minimums.
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