Beispiel: Die Matrix A hat 3 Zeilen und 3 Spalten. Sie hat aber nur Rang 2 (< 3), also keinen vollen Rang. Rang einer Matrix bestimmen im Video zur Stelle im Video springen (00:58) Oft siehst du den Vektoren einer Matrix aber nicht direkt an, ob sie linear unabhängig sind. Deshalb kannst du nach einem allgemeinen Schema vorgehen, um den Rang einer Matrix zu bestimmen. Rang einer Matrix berechnen Bringe die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform. Die Anzahl der Zeilen, die in Zeilenstufenform keine Nullzeilen sind, ist der Rang der Matrix. Beispiel 1: 1. Zeilenstufenform: 2. Nichtnullzeilen zählen: Du siehst, dass in Zeilenstufenform zwei Zeilen keine Nullzeilen sind. Also ist rang(A) = 2. Beispiel 2: Du siehst, dass in Zeilenstufenform keine Nullzeile vorhanden ist. Alle drei Zeilen sind Nichtnullzeilen. Also ist rang(B) = 3. Der Rang entspricht also der Zeilenanzahl. Kern einer Matrix • einfach erklärt + Beispiele · [mit Video]. Deshalb hat B vollen Rang. Quadratische Matrizen im Video zur Stelle im Video springen (02:17) Bei quadratischen Matrizen kannst du den Rang auch ohne die Zeilenstufenform bestimmen.
Kern von 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 bedeutet doch: alle Vektoren, für die diese Matrix * Vektor x = Nullvektor ist. Wenn x = ( x1, x2, x3) ist, heißt das 0*x1 + x2 - 2x3 = 0 Die anderen beiden Gleichungen gelten immer. Also kannst du frei wählen x3 beliebig, etwa x3=t. Matrizen - lernen mit Serlo!. das eingesetzt gibt x2 - 2t = 0 also x2 = 2t Das x1 ist wieder beliebig wählbar, etwa x1 = s Dann ist der gesuchte Vektor x = ( s; 2t; t) = s* ( 1;0;0) + t * ( 0; 2; 1) also sind die x'e in der Tat alle Vektoren aus dem von ( 1;0;0) und ( 0; 2; 1) aufgespannten Unterraum von IR^3
Die Cholesky Zerlegung ist eine für synmetrische Matrizen optimierte LR-Zerlegung. Die Householder Transformation ist eine Spiegelung, so dass gewünschte Stellen zu Null werden. Die Givens Rotation ist als Drehung ein Spezialfall der Householder Transformation. Das Ergebnis zeigt Q*A = R. R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix, Q ist eine orthogonale Matrix. Dies kann umgestellt werden zu A = Q(transponiert)*R. Das Verfahren ist sehr stabil. Die Adjunkte berechnet sich so ein bisschen wie die Determinate nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz (ein bisschen! ). Mit ihr kann man die Inverse berechnen. Matrize*Inverse = Einheitsmatrix. Mit der Inversen kann man Ax=b auflösen. Also Inverse*A*x=Inverse*b Daraus folgt: x = Inverse*b. Die Betragsnorm ist eine Vektornorm. Kern einer matrix berechnen 3. Alle Vektoreinträge werden hier addiert. Die Euklidnorm ist eine Vektornorm. Die Quadrate aller Einträge werden addiert und aus der Summe wird die Wurzel gezogen. Die Maximumsnorm ist eine Vektornorm. Es wird hier nur der größte Eintrag des Vektors genommen und das war es schon.