Beweise: Algebraisch: Mit vollständiger Induktion Geometrischer Beweis (von Giorgio Goldoni): Man baue 6 Pyramiden der folgenden Form (hier für N=4): Sie lassen sich zu einem Quader mit den Kantenlängen N, N+1, 2N+1 zusammensetzen. Hier das Zusammensetzen von drei derartigen Pyramiden: Man erhält einen Quader "mit einer Außentreppe". Quadrat einer summe in text. Offensichtlich bilden zwei solche Quader mit ihren Außentreppen zusammen einen kompakten Quader! Für großes N ähneln diese Pyramiden denjenigen Pyramiden, die man von der Würfel-Drittelung durch kongruente Pyramiden kennt: Im Chinesischen heißen diese Pyramiden Yang-ma, sie spielen eine wichtige Rolle zum Beispiel bei der Berechnung des Volumens von Pyramiden-Stümpfen (Liu Hui,, Kommentar zu den 9 Kapiteln). Die obigen Pyramiden, die wir beim Beweis der Formel für die Summe der ersten N Quadratzahlen verwendet haben, verallgemeinern den geometrischen Beweis für die Summe der ersten N Zahlen. Hier der Fall N=5:
(Dann ist die Summe auch null. ) V3: Existenz eines inversen Elements: m a + m -a = 0 Bei m -a sind alle Werte mit (-1) multipliziert. V4: Kommutativgesetz: m1 a + m2 b = m2 b + m1 a S1: r ⋅ (m1 a + m2 b) = r ⋅ m1 a + r ⋅ m2 b. S2: (r+b) ⋅ m a = r ⋅ m a + s ⋅ m a S3: (r ⋅ s) ⋅ m a r ⋅ (s ⋅ m a) S4: 1 ⋅ m a = ⋅ m a Wir beschäftigen uns zuerst mit 3x3 Quadraten. Quadrat einer summe. Wir untersuchen zuerst diese Quadrate allgemein. Welche Bewandtnis hat das mittlere Element? Wir stellen Gleichungen auf, da die Summen immer eine vorgegebene Zahl bilden. Diese Gleichungen lösen wir und interpretieren die Lösungen.
Mit folgendem Trick kommt man aber weiter. Wir ordnen die Zahlen zweimal anders an und addieren sie stellenweise auf das ursprngliche Dreieck. Die Summe der Zahlen in dem Dreieck, das man dadurch erhlt, ist dann das Dreifache der gefragten Quadratsumme. Zunchst verschieben wir die Spalten im Dreieck so, da das Dreieck schn symmetrisch wird: Nun spiegeln wir die Zahlen einmal an der Seitenhalbierenden von rechts unten nach links oben und einmal an der anderen Achse: 1 1 3 1 1 3 5 3 1 1 3 5 7 5 3 1 1 3 5 7 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 Addiert man nun stellenweise die Zahlen der drei Dreiecke, erhlt man 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 Wow! Da stets, d. Quadrat einer summe in hindi. in allen verdreifachten Quadratsummendreieck, berall nur gleiche Zahlen stehen, wird im Anhang (siehe unten) bewiesen. Hier interessiert zunchst nur, welche Zahl es ist. Betrachten wir dazu die Zahl an der Spitze. Sie ist im Beispiel die Summe aus 1+1+9. Die 9 ist die hchste Differenz in der Darstellung von n, die, wie wir oben gesehen hatten, gleich 2n-1 ist.