f ( 0) = 0 f ( 1 3 4) = − 2 3 3 f ( − 1 3 4) = − 2 3 3 f(0)=0 \\ f\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} \\ f\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} H P = ( 0 ∣ 0) HP = \left( 0 \mid 0 \right) \\ T P 1 = ( − 1 3 4 ∣ − 2 3 3) TP_1 = \left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right) \\ T P 2 = ( 1 3 4 ∣ − 2 3 3) TP_2 = \left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\dfrac{2}{3\sqrt3} \right) Bestimmung der y-Koordinaten. Die Punkte werden vollständig angegeben. Beispielaufgabe 4 Untersuche die Funktion i ( x) = x i(x)=\sqrt{x} auf Extrempunkte. Ableitung. \\ Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen. Hat die Funktion also keine Extrema? Doch, denn D f = [ 0; ∞) D _f=[0;\infty) und der Definitionsbereich \\ der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen. f ( 0) = 0 f(0)=0 \\ f ′ ( 0) = + ∞ > 0 f'(0)= +\infty >0 Betrachtung des Definitionsrandes. Extremstellen berechnen aufgaben zu. Man hat ein Extremum bei x = 0 x=0 und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst. Übungsaufgaben Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner: Aufgaben zum Monotonieverhalten Du hast noch nicht genug vom Thema?
2. Aufgabe mit Lösung: Im ersten Schritt bilden wir erneut die ersten drei Ableitungen. Als Nächstes kommt das notwendige Kriterium zum Einsatz. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Gleichung, die es zu lösen gilt. Wir erhalten Im nächsten Schritt nutzen wir das notwendige Kriterium zur Überprüfung, ob es sich bei den beiden errechneten Werten tatsächlich um Extremwerte der ersten Ableitung handelt. Fangen wir mit an. Demnach handelt es sich bei um eine Wendestelle. Nun schauen wir uns einmal an. Extremstellen berechnen aufgaben des. Demnach handelt es sich auch für um eine Wendestelle. Als Nächstes berechnen wir noch die zugehörigen y-Werte, indem wir die errechneten x-Werte in einsetzen. Wir erhalten demnach die Wendestellen und. 3. Aufgabe mit Lösung: Im nächsten Schritt nutzen wir das hinreichende Kriterium aus. Nun schauen wir uns an. Berechnen für die zugehörigen y-Werte noch. Dazu fagen wir mit an. Demnach erhalten wir die Wendepunkte und. 4. Aufgabe mit Lösung: Wir berechnen noch den zugehörigen y-Wert, indem wir in einsetzen.
Sie ergibt sich aus dem Funktionswert an dieser Stelle. Ein mögliches Rechteck hätte also mit dem Funktionsgraphen den Punkt P gemeinsam, ein anderes den Punkt O. Ohne die Differenzialrechnung wäre es sehr mühsam, alle möglichen Kombinationen auszurechnen. Wir formulieren die vorläufige Zielfunktion: Diese Funktion für die zu optimierende Fläche hat noch zwei Variablen. Um eine Funktion mit einer Variablen zu erhalten, setzt man den Term für y (Nebenbedingung) in die Hauptbedingung ein. Man erhält somit die reduzierte Zielfunktion A(x): Nun sollte man sich Gedanken über das Intervall bzw. Hochpunkt und Tiefpunkt. den sinnvollen Definitionsbereich machen. Wenn x gleich null oder so groß wie die halbe Seitenwand ist, entsteht überhaupt keine Fläche. Noch größere x liegen außerhalb des Möglichen. Wer die Nullstellen berechnet, erhält auch den rechten Rand des Intervalls: Die Extremwertsuche beginnt mit der Ableitung der Zielfunktion: Man setzt sie gleich null (notwendige Bedingung für Extrema): und löst die Gleichung nach x auf: Es ist noch zu prüfen, ob diese Stelle im Definitionsbereich liegt und ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
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