Beispiele: Im Folgenden geht es nicht um die Berechnung der Potenzwerte, sondern ausschließlich um die Anwendung der Definition von Potenzen mit negativen Exponenten. $3^{-4}=\frac1{3^{4}}$ $5^{-2}=\frac1{5^{2}}$ $7^{-3}=\frac1{7^{3}}$ $\left(\frac12\right)^{-4}=\frac1{\left(\frac12\right)^{4}}$ Die Potenzgesetze Die Potenzgesetze helfen dir beim Rechnen mit Potenzen. Im Folgenden schauen wir uns die ersten drei Potenzgesetze einmal für negative Exponenten an, denn da gelten die Gesetze auch: Das 1. Potenzgesetz Dieses Gesetz siehst du hier noch einmal in Worten formuliert: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert. Wir üben dies an einem Beispiel: $5^{8}\cdot 5^{-5}=5^{8+({-5})}=5^{8-5}=5^3$ Das 2. Potenzgesetz Dieses Gesetz besagt: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert. Die folgende Divisionsaufgabe lösen wir nun auf zwei Arten: $3^{5}:3^{8}$. Wende das 2.
Lesezeit: 2 min Potenzen können auch einen negativen Exponenten besitzen. Was das genau heißt, machen wir uns an dem Beispiel der Division und den bisher kennengelernten Potenzgesetzen klar. Wir wollen diesen Term erzeugen: 3 -1 Hierzu nutzen wir die Division unter Zuhilfenahme der Potenzgesetze: 3 1: 3 2 = 3 1-2 = 3 -1 Wandeln wir die Division in einen Bruch um und schreiben die Potenzen aus: 3 1: 3 2 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} \) Wir kürzen jetzt eine 3 aus dem Zähler und Nenner. Und erhalten: 3 1: 3 2 = \( \frac{3^1}{3^2} = \frac{3}{3·3} = \frac{1}{3} \) Wir fassen die Berechnungen von oben zusammen: \( 3^{1}: 3^{2} = {3}^{-1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} \) Machen wir das gleiche Verfahren für \( 3^{-2} \), so ergibt sich: \( 3^{1}: 3^{3} = 3^{ \textcolor{#F07}{-2}} = \frac{1}{3^{ \textcolor{#F07}{2}}} \) Und für bspw. \( 3^{-5} \) ergibt sich: \( 3^{1}: 3^{6} = {3}^{ \textcolor{#F07}{-5}} = \frac{1}{3^{ \textcolor{#F07}{5}}} \) Und hier erkennen wir die Rechenregel für Potenzen mit negativen Exponenten: \( a^{ \textcolor{#F07}{-n}} = \frac{1}{a^{ \textcolor{#F07}{n}}} \)
Das Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. Beispiel: Man schreibt 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⏟ 3 F a k t o r e n \underbrace{2\cdot2\cdot2}_{3~Faktoren} als 2 3 2^3. Der Exponent bzw. die Hochzahl, in diesem Beispiel die 3, beschreibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Generell hat jede Zahl ohne Exponenten den Exponenten 1 1. Es gilt: x = x 1 x=x^1. Der Exponent wird in diesem Fall meist weggelassen. Beispiel: 3 1 = 3 3^1=3 Potenziert man eine beliebige Zahl x x mit 0 0, so erhält man immer x 0 = 1 x^0=1. Ausnahme: in manchen Schulbücher ist " 0 0 0^0 " nicht definiert. Es schadet aber nicht, wenn wir 0 0 = 1 0^0=1 setzen. Wichtig: 0 0 = 1 0^0=1 ist nicht das Ergebnis einer Rechnung, sondern eine Vereinbarung. Basis und Exponent Die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert werden soll, nennt man Basis, die Anzahl Exponent, beides zusammen ist die Potenz und das Ergebnis dieser Rechnung ist der Wert der Potenz. Potenzen mit negativer Basis Wird eine negative Zahl potenziert, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses davon ab, ob der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl ist.
Geschrieben von: Dennis Rudolph Dienstag, 08. Januar 2019 um 18:05 Uhr Wie man Brüche potenziert, wird hier einfach erklärt. Dies sehen wir uns an: Eine Erklärung, wie man Brüche potenziert. Viele Beispiele zu Potenzen bei Brüchen. Aufgaben / Übungen um dies selbst zu üben. Ein Video zu Potenzregeln. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet. Ein kleiner Tipp zu Beginn: Wenn ihr nicht wisst, was ein Bruch ist, werft bitte erst einmal einen Blick in den Hauptartikel Bruchrechnen. Hilfreich ist auch wenn ihr die Potenzregeln bereits kennt. Dies ist der Fall? Dann lest gleich weiter.. Erklärung Potenzen bei Brüche Starten wir mit einfachen Aufgaben zur Bruchrechnung mit Potenzen. Beispiel 1: Bruch mit Potenz Im einfachsten Fall kann ein Bruch mit einer Potenz gelöst werden, indem der Bruch ausgerechnet wird. Die Zahl, die übrig bleibt, kann im Anschluss einfach potenziert werden. Beispiel 2: Bruch ergibt Dezimalzahl mit Potenz Eine weitere Möglichkeit besteht darin, dass der Bruch ausgerechnet wird und dadurch eine Dezimalzahl entsteht.
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