Mathematik > Funktionen Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: In diesem Lerntext erklären wir dir die Vorgehensweise zur Berechnung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion. Diese Vorgehensweise zeigen wir dir anhand mehrerer Beispiele. Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal Über 700 Lerntexte & Videos Über 250. Lineare Funktion. 000 Übungen & Lösungen Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen Gratis Nachhilfe-Probestunde Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion lässt sich mithilfe weniger Schritte aufstellen. Nachfolgend siehst du die Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion: Methode Hier klicken zum Ausklappen 1. Funktion nach $x$ auflösen. 2. $x$ und $f(x)$ vertauschen. Wenden wir diese beiden Schritte einmal auf ein Beispiel an: 1. Funktion nach $x$ auflösen $f(x) = 2 \cdot x +1~~~~~~|-1$ $f(x) - 1 = 2 \cdot x~~~~~|:2$ $\frac{f(x)}{2} - 0, 5 = x$ 2.
Diese Funktion ist – wie oben gezeigt – umkehrbar. Die Umkehrfunktion f − 1 wird durch die Menge { ( − 1; − 1), ( 1; 0), ( 3; 1), ( 5; 2); ( 7; 3); ( 9; 4);... } beschrieben. Um die Funktionsgleichung f − 1 zu erhalten, lösen wir y = f ( x) = 2 x + 1 nach x auf: x = 1 2 y − 1 2 Dann vertauschen wir x und y: y = f − 1 ( x) = 1 2 x − 1 2 Eine Überprüfung zeigt, dass man mittels dieser Gleichung zu der obigen Paarmenge für f − 1 gelangt. Beispiel 5: Die Funktion y = f ( x) = x 2 ( D = ℝ; W = [ 0; + ∞ [) ist nicht eineindeutig und daher im Ganzen nicht umkehrbar. Verwendet man aber als Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen ( D = [ 0; + ∞ [), so erhält man eine eineindeutige Funktion. Um die Funktionsgleichung von f − 1 zu erhalten, lösen wir y = f ( x) = x 2 nach x auf: x = y Dann vertauschen wir x und y: y = f − 1 ( x) = x ( x ≥ 0) Zeichnet man jeweils die Graphen von f und f − 1 in ein Koordinatensystem, so ist erkennbar, dass die Graphen der beiden Funktionen achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Ist die Umkehrfunktion einer linearen Funktion immer eine lineare Funktion?? | Mathelounge. und III.
Solche Funktionen sind bijektiv. Das ist bei monoton steigenden oder monoton fallenden Funktionen der Fall. Alle linearen Funktionen sind zum Beispiel monoton. Bei quadratischen Funktionen ist das etwas kniffliger. Sie haben nämlich die Eigenschaft, dass jedem x zwei y zugeordnet sind. Du kannst trotzdem eine Umkehrfunktion bilden, wenn du nur einen Teilabschnitt der Funktion betrachtest. Eine Umkehrfunktion zu bilden, ist eigentlich ganz simpel. Umkehrfunktion einer linearen funktion und. Du musst lediglich zwei Schritte beachten: die Funktionsgleichung nach x auflösen x und y vertauschen Wie bereits oben erklärt, musst du bei quadratischen Funktionen andere Dinge beachten als bei linearen Funktionen und auch bei e-Funktionen funktioniert das Bilden der Umkehrfunktion ein bisschen anders. Hier ein paar Beispiele, wie du für unterschiedliche Funktionsarten die Umkehrfunktion bildest: Lineare Funktion Als Beispiel nehmen wir die Funktion: Zuerst musst du die Funktionsgleichung nach x auflösen: Nun noch x und y vertauschen, dann lautet die Umkehrfunktion: Quadratische Funktion Wie oben bereits beschrieben, ist eine quadratische Funktion nicht monoton und hat keine allgemeine Umkehrfunktion.
Zumindest in der Schulmathematik oft nicht. f(x) = 3 ist in der Schule eine lineare Funktion. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade. Spiegelt man sie an y=x, so hat man die Menge der Punkte (x|y) mit x=3 und y beliebig. Das ist dann kein Graph einer Funktion, da einem x-Wert mehr als ein Funktionswert zugeordnet wird.
Diese Variablen werden oft x und y genannt. Wie der Name es bereits sagt, ordnen Umkehrfunktionen Variablen umgekehrt zu. X und y werden sozusagen vertauscht. So kannst du Berechnungen rückgängig machen. Wenn f(x)=y ist, ist f-1(y)=x. Das Umkehren einer Funktion begegnet dir auch im Alltag: Wenn du im Urlaub in England dein Geld von Euro in Pfund gewechselt hast und dich dann im Supermarkt fragst, wie viel Euro die Tafel Schokolade kostet, kannst du das mit der Umkehrfunktion berechnen. Loading... Allgemein gesagt, bedeutet das: Du möchtest herausfinden, welches x du einsetzen musst, um ein bestimmtes y zu erhalten. Die Umkehrfunktion hilft dir dabei. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 ist der Graph von f an der Winkelhalbierenden gespiegelt. Umkehrfunktion einer linearen function.date. Die Winkelhalbierende ist in diesem Fall die Gerade g(x)=x im ersten Quadranten. Monotone Funktion = Es gibt eine Umkehrfunktion Du kannst nur dann eine Umkehrfunktion bilden, wenn es für jedes y im Wertebereich nur ein x im Definitionsbereich gibt.
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