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Der Wertebereich oder die Wertemenge ist die Menge aller möglichen y-Werte, die eine Funktion annehmen kann. Man kann die Wertemenge bestimmen, wenn man das Schaubild der Funktion hat. Mathe: Definitionsmenge und Wertemenge? (Schule, Mathematik). Asymptoten, Hoch- und Tiefpunkte geben nun meistens an, welches die höchsten und tiefsten Punkte der Funktion sind. Lerntipp: Nutze die Rechenbeispiele! - versuche die Aufgaben selbst zu lösen, bevor du das Lösungsvideo anschaust. Rechenbeispiel 1 Bestimmen Sie die Wertemenge von f(x)=x²–6x Lösung dieser Aufgabe Rechenbeispiel 2 Bestimmen Sie die Definitionsmenge von Rechenbeispiel 3 Bestimmen Sie die Definitionsmenge von h(x)=x³–2x+1 Rechenbeispiel 4 Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f(x)=-2·(x+3)2+5 Rechenbeispiel 5 Bestimmen Sie die Definitionsmenge von g(x)=x4+4x3+12 Lösung dieser Aufgabe
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E-Funktion und ln-Funktion Graph der e-Funktion und der ln-Funktion Achtung: Bei komplizierteren ln-Ausdrücken ist der Definitionsbereich meist nicht einfach! Schau dir dazu ein Beispiel an: Angenommen, du möchtest den Definitionsbereich von angeben. Weil du in den ln nur positive Zahlen einsetzen darfst, muss hier das Innere der Funktion, das heißt, positiv sein. Dann gehst du so vor: Schritt 1: Berechne die Nullstellen der inneren Funktion: Bestimmung der Definitionsmenge – Funktion in der ln-Funktion Du siehst, dass im Intervall negativ ist und sonst positiv. Alle Zahlen, für die positiv ist, bilden jetzt deinen Definitionsbereich der ln-Funktion: Das -Zeichen ist ein " und ". Du darfst also alles einsetzen von minus unendlich bist -2 und alles von 2 bis plus unendlich! Aufgaben zur Definitions- und Wertemenge - lernen mit Serlo!. Die runden Klammern sagen dir, dass du auch die 2 und die -2 nicht einsetzen darfst. Beispiel 4: Definitionsbereich ln-Funktion Wurzelfunktion im Video zur Stelle im Video springen (02:50) Auch in die Wurzelfunktion darfst du nicht alle x-Werte einsetzen.
Du darfst also jede Zahl in eine ganzrationale Funktion einsetzen. Zu den ganzrationalen Funktionen zählen lineare Funktionen wie f(x) = 2x + 5 oder f(x) = x – 3 quadratische Funktionen wie f(x) = x 2 + 2x + 4 alle anderen Polynome wie f(x) = x 4 – 6x 2 + 5x Hier ist der Definitionsbereich immer der gleiche: Du darfst alle reellen Zahlen einsetzen! Schon gewusst? Eine Ausnahme ist dabei natürlich, wenn der Definitionsbereich von vornherein eingeschränkt wird. Dann betrachtest du beispielsweise f(x) nur auf dem Intervall [a, b]. Das findet insbesondere bei abschnittsweise definierten Funktionen oder in der Integralrechnung Anwendung. Gebrochen rationale Funktion im Video zur Stelle im Video springen (01:54) Anders sieht es bei gebrochen rationalen Funktionen aus. Das sind Funktionen mit einem Bruch, bei denen im Nenner (also unten im Bruch) ein x vorkommt: zum Beispiel oder. Gebrochen rationale Funktionen Die Nullstellen des Nenners darfst du also nicht in die Funktion einsetzen. Wenn du nämlich eine der Nullstellen einsetzt, kommt ja im Nenner 0 heraus und du würdest durch 0 teilen — und das darfst du in der Mathematik nicht!
Wertebereiche wichtiger Funktionen Lineare Funktionen Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass lineare Funktionen in ganz $\mathbb{R}$ definiert sind. Für $x$ können wir also jede reelle Zahl einsetzen. Da lineare Funktionen entweder streng monoton fallend (fallende Gerade) oder streng monoton steigend (steigende Gerade) sind, wird jeder $y$ -Wert angenommen. Beispiel 2 Funktion $$ f(x) = x + 2 $$ Definitionsbereich $$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$ Wertebereich $$ W_f = \mathbb{R} $$ Beispiel 3 Gegeben sei die Funktion $f(x) = x + 2$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f = [{\color{maroon}0}; {\color{maroon}2}]$. Dieses Mal hat der Aufgabensteller den Definitionsbereich beschränkt. Wie berechnet sich jetzt der Wertebereich? Da die gegebene Funktion streng monoton steigend ist, ist das Vorgehen ganz einfach. Wir setzen zunächst die untere Grenze des Intervalls ( ${\color{maroon}0}$) in die Funktion ein, um den kleinsten $y$ -Wert zu erhalten: $$ f({\color{maroon}0}) = {\color{maroon}0} + 2 = {\color{red}2} $$ Danach setzen wir die obere Grenze des Intervalls ( ${\color{maroon}2}$) in die Funktion ein, um den größten $y$ -Wert zu erhalten: $$ f({\color{maroon}2}) = {\color{maroon}2} + 2 = {\color{red}4} $$ Der kleinste $y$ -Wert ( ${\color{red}2}$) und der größte $y$ -Wert ( ${\color{red}4}$) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs: $\mathbb{W}_f = [{\color{red}2}; {\color{red}4}]$.