Zeige: Konvergiert die Reihe absolut und ist beschränkt, so konvergiert auch die Reihe absolut. Konvergiert die Reihe und ist beschränkt, so muss die Reihe nicht konvergieren. Lösung (Absolute Konvergenz von Reihen mit Produktgliedern) 1. Teilaufgabe: 1. Möglichkeit: Mit Beschränktheit der Partialsummen. Da absolut konvergiert, ist die Partialsummenfolge beschränkt. Weiter ist beschränkt. Daher gibt es eine mit für alle. Damit folgt Da nun beschränkt ist, ist auch beschränkt. Aus der Ungleichung folgt, dass auch beschränkt ist. Damit konvergiert absolut. 2. Möglichkeit: Mit Majorantenkriterium. Folgen und reihen aufgaben mit lösungsweg meaning. Da beschränkt ist, gibt es eine mit für alle. Damit folgt Da nun absolut konvergiert, konvergiert auch absolut. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert absolut. Teilaufgabe 2: Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert und die alternierende harmonische Reihe konvergiert (jedoch nicht absolut). Nun können wir wie folgt umschreiben: Weiter ist beschränkt, denn. Also ist konvergent, beschränkt, aber divergent.
Die Reihe konvergiert nicht absolut nach dem Minorantenkriterium:, da monoton steigend ist. Also divergiert die Reihe. Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 2) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz. Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 2) 1. Majorantenkriterium: Es gilt 2. Minorantenkriterium: Es gilt, da ist divergiert 3. Quotientenkriterium: Für gilt Alternativ mit Wurzelkriterium: 4. Trivialkriterium: Für gilt Also ist keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe. 5. Leibnizkriterium: Es gilt, da monoton fallend ist. Also ist auch monoton fallend., da stetig ist. Also ist eine Nullfolge. 6. Majorantenkriterium: Für gilt, da ist. (Geometrische Reihe) 7. Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Majorantenkriterium: Es gilt Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da nicht monoton fallend ist! Aufgabe (Reihen mit Parametern) Bestimme alle, für welche die folgenden Reihen (absolut) konvergieren: Lösung (Reihen mit Parametern) Teilaufgabe 1: Für alle gilt Daher konvergiert die Reihe für alle absolut.
Teilaufgabe 2: Wir unterscheiden zwei Fälle: Fall 1: Hier ist und Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut. Fall 2:, da Also divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium. Teilaufgabe 3: Wir unterscheiden zwei Fälle: Daher konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut. Fall 2:. Daher ist keine Nullfolge Also divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium. Teilaufgabe 4: Wir unterscheiden vier Fälle: Hier ist und (geometrische Reihe) Fall 2: divergiert (harmonische Reihe) Fall 3: konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (alternierende harmonische Reihe) Die Reihe konvergiert nicht absolut, da divergiert Fall 4: Hier ist, und divergiert. (harmonische Reihe) Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium. Anmerkung: Die Fälle und können auch mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium behandelt werden. Aufgabe (Grenzwertkriterium oder Majorantenkriterium) Untersuche die Reihe auf Konvergenz. Folgen und reihen aufgaben mit lösungsweg online. Lösung (Grenzwertkriterium oder Majorantenkriterium) Es gilt Daher gilt mit: Da die Reihe konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch.
Leistungskurs (4/5-stündig)
Aufgabe (Kriterium von Raabe) Gilt für fast alle und für ein, so ist absolut konvergent., so ist divergent. Zeige mit dem Kriteriums von Raabe, dass die folgende Reihe für jedes konvergiert: Lösung (Kriterium von Raabe) Teilaufgabe 1: Zunächst gilt die Äquivalenzumformung Da die Umformung für fast alle gilt, gibt es ein, so dass sie für alle gilt. Summieren wir nun beide Seiten bis zu einer natürlichen Zahl auf, so erhalten wir Also ist die Folge der Partialsummen beschränkt. Folgen und Reihen - Mathematikaufgaben. Somit konvergiert die Reihe absolut, und damit auch die Reihe. Im 2. Fall gilt für alle die Umformung Dies ist nun äqivalent zu Da nun die Reihe divergiert (harmonische Reihe), divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe, und damit auch. Teilaufgabe 2: Hier ist, und damit Mit folgt nun mit dem Kriterium von Raabe die absolute Konvergenz der Reihe.
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