Ist man nur am Abstand zweier windschiefer Geraden interessiert und benötigt nicht die Koordinaten derjenigen Punkte, in denen sich die Geraden am nächsten kommen, so berechnet man den Abstand am schnellsten mit einer Formel. Diese Formel wird kurz hergeleitet. Anschließend folgt ein Beispiel. Formel für den Abstand windschiefer Geraden Die Geraden $g:\vec x=\vec p+t\, \vec u$ und $h:\vec x=\vec q+s\, \vec v$ seien windschief; der Vektor $\vec n$ stehe senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Dann beträgt der Abstand dieser Geraden $d=\dfrac{\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}$. Sie finden diese Formel auch in der Form $d=\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n_0\right|$. In diesem Fall zieht man den Nenner $|\vec n|$ in den Zähler zum Normalenvektor und nutzt die Schreibweise $\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}$ für den Einheitsvektor. Diese Form scheint kompakter, bietet bei der konkreten Berechnung jedoch keinen Vorteil. Begründung der Formel Es ist kein Zufall, dass diese Formel mit der Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene übereinstimmt.
\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2}}}\) Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind. Abstand zweier windschiefer Geraden Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g, h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.
10. 02. 2010, 09:01 Gänseblümchen Auf diesen Beitrag antworten » Abstand(min) zweier windschiefer Geraden Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß einfach nicht weiter: Ein Ballon startet im Punkt A(2/5/0). Er bewegt sich gradlinig mit konstanter Geschweindigkeit und ist nach 1 Stunde im Punkt B(4/8/1). Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C( 19/15/1) und fliegt gradlinig mit 9o km/h in Richtung (alle Koordinaten in km). Frage: Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und des Klainflugzeug am nächsten? Wie weit sind sie in deisem Augenblick von einander entfernt? Ich weiß dass ich den kürzesten Abstand dieser beiden windschiefen Geradenberechnen soll nud wie ich die Punkte auf den zwei geradenbekomme oder den vektor zwischen diesen Punkten is mir leider nicht bekannt. Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte. 10. 2010, 09:35 Gualtiero RE: Abstand(min) zweier windschiesfer Geraden Für die Fragestellung allgemein kannst Du mal hier gucken.
Nach unserer Konstruktion ist L 1 L 2 ¯ eine Verbindungsstrecke von g und h, die sowohl auf der Geraden g als auch auf der Geraden h senkrecht steht. Da ein Punkt A auf g von einem Punkt B der Geraden h mindestens so weit entfernt ist wie von der Ebene ε, ist L 1 L 2 ¯ die kürzeste Verbindungsstrecke von g und h. Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit des Punktes L 2. Dies folgt beispielsweise daraus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse größer als jede Kathete ist. Wir müssen nur noch deren Länge bestimmen, also den Abstand des Punktes L 1 oder einfacher eines beliebigen Punktes A auf g von der Ebene ε.
Die Hilfsebene liefert nicht die Punkte mit minimalem Abstand auf den Geraden
Zwei Geraden schneiden einander, wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\) Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt. Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right. } \right)\). \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\) \(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \) Windschiefe Geraden Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann.
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