Kettenregel Definition Mit der Kettenregel lassen sich verkettete Funktionen ableiten; das sind Funktionen von Funktionen, d. h. : mit x wird etwas gemacht (Funktion) und mit dem Ergebnis wird wieder etwas gemacht (eine andere Funktion). Beispiel Die verkettete Funktion sei f(x) = (x + 1) 2. Dahinter stecken 2 Funktionen (Berechnungen): die sog. innere Funktion ist (x + 1), zählt also einfach 1 zu x dazu; die sog. äußere Funktion ist x 2, quadriert also x (wobei x für die innere Funktion, also x + 1 steht). Innere und äußere Funktion: Ableitung von 3 * sin (3*10x)? | Mathelounge. Die 1. Ableitung der verketteten Funktion entsteht, indem die äußere Funktion (also x 2) abgeleitet wird, das ergibt 2x ( äußere Ableitung); dann die innere Funktion (x + 1) für das x oben eingesetzt wird, also 2 × (x + 1) und zuletzt das Ganze mit der 1. Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird (sogenanntes Nachdifferenzieren); (x + 1) ist abgeleitet 1 ( innere Ableitung), also 2 × (x + 1) × 1 = 2x + 2. Die Kettenregel allgemein als Formel (mit f als äußere, g als innere und y als verkettete Funktion): $$y = f(g(x)) \to y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ Es können auch 3 oder mehr Funktionen verkettet sein, dann muss die Kettenregel mehrfach angewendet werden.
Es muss natürlich bewiesen werden, dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist. Dieser trägt den Namen äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung und wird meistens mit bezeichnet. Man verzichtet also auf den Index, welcher den Grad der Differentialform angibt, auf welche der Operator angewendet wird. Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Formel für die äußere Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Man kann die äußere Ableitung auch mit Hilfe der Formel darstellen, dabei bedeutet das Zirkumflex in, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist, bezeichnet die Lie-Klammer. Koordinatendarstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sei ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Ableitung innere und äußere funktion. Die äußere Ableitung von hat in diesem Punkt die Darstellung, dabei hat die lokale Darstellung Darstellung über Antisymmetrisierungsabbildung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die äußere Ableitung von -Formen ist einfach durch die totale Ableitung gegeben und stets kovariant ( siehe auch kovariante Ableitung) und antisymmetrisch.
Sei eine glatte Riemann'sche Mannigfaltigkeit, so ist der Hodge-Laplace-Operator definiert durch Eine Funktion heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt. Analog definiert man die harmonischen Differentialformen. Eine Differentialform heißt harmonisch, falls die Hodge-Laplace-Gleichung erfüllt ist. Mit wird die Menge aller harmonischen Formen auf notiert. Dieser Raum ist aufgrund der Hodge-Zerlegung isomorph zur entsprechenden De-Rham-Kohomologiegruppe. Der Hodge-Laplace-Operator hat folgende Eigenschaften:, also falls harmonisch ist, so ist auch harmonisch. Der Operator ist selbstadjungiert bezüglich einer Riemannschen Metrik g, das heißt für alle gilt;. Notwendig und hinreichend für die Gleichung ist, dass und gilt. Dolbeault-Operator [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zwei weitere Differentialoperatoren, welche mit der Cartan-Ableitung in Verbindung stehen sind der Dolbeault- und der Dolbeault-Quer-Operator auf Mannigfaltigkeiten. Äußere und innere Funktion bestimmen | #Mathematik - YouTube. So kann man die Räume der Differentialformen vom Grad einführen, welche durch notiert werden, und erhält auf natürliche Weise die Abbildungen mit.
2006, 22:32 Aber warum die 1??? Das mit x^2*y ist klar, aber x^2*1 verstehe ich nicht... 11. 2006, 22:36 Ich glaube, ich habe es verstanden, bin mir da aber net so sicher... 11. 2006, 22:41 Nochmal ganz easy jetzt: (a + a^2) = a(1+a) Warum? Wir haben zwei Summanden und in jedem kommt unser a mindestens vom Grad 1 vor. a^1 = a können wir also ausklammern. Das bedeutet, wir teilen a durch a und a^2 durch a a/a = 1 und a^2/a = a ergibt also a(1+a). klar? 11. 2006, 22:44 Ja, danke ^^ Ich Dödel..... *kopfschüttel* kannst du mir auch bei dieser Aufgabe helfen??? f'(x)=4x^(3)*2^(x)+x^(4)+2^(x)*ln2 Woher kommt die ln2 her??? 11. 2006, 22:51 Schreibe Dein f(x) leitest du mit Hilfe der Produktregel ab und deine e-Funktion selbst wieder mit Kettenregel. 11. 2006, 23:00 Ich kann anstatt 2^x auch e^(x*ln2) schreiben??? Was ist äußere, was innere Ableitung???. Öhm... Warum??? 12. 2006, 17:00 Kann mir keiner helfen?? ?
Das ist der fünfte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen: Potenz- und Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel wichtige Ableitungen Funktionsscharen ableiten Höhere Ableitungen Ableitungen aus Prüfungen Die Ableitung ist die Steigung der Funktion auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.
Wenn das richtig wäre, müsste die weitere Rechnung ungefähr so sein: f'(x)= 2x*(e^(2x+1))+2e^(2x+1)*x^2 Ist das richtig??? Mit dem Vereinfachen bin ich mir da net so sicher.... Ich könnte doch 1 oder 2 x wegkürzen oder ausklammern oder??? Und was ist mit e^(2x+1)??? kann man da auch noch was machen??? 11. 2006, 22:05 deine Ableitung ist völlig richtig! ausklammern ist hier das Zauberwort! jeder Faktor, der in beiden Summanden auftritt kann herausgeholt werden, das sind hier: der Faktor 2, ein x, und auch das je auftretende e^(2x+1) was überbleibt: vorne: nichts, also Faktor 1 hinten: x und dann hast du die schöne darstellung f'(x)=2x*e^(2x+1)* (x+1) mercany Original von Nachteule Passt! Das kannste so lassen... edit: wie immer zu langsam und dann auch noch eine frage von dir vergesse zu beantworten. Innere äußere ableitung. naja, hat ja loed gemacht:? ps: ich bin soweit jochen! Gruß, mercany 11. 2006, 22:13 Da ist jetzt ein weiteres Problem meinerseits... Man merkt, ich bin kein Mathegenie ^^ Also... Ich verstehe das mit (x+1) überhaupt net, wie das nun zustande kommt, auch wenn du das hingeschrieben hast... bei einer anderen Aufgabe war es auch so: f(x)=x^(2)* lnx f'(x)=x(2lnx+ 1) Wie kommt die 1 dahin und warum muss die da sein????
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