Home Mitglieder Wer braucht noch Hilfe? Jetzt teilen Andere Portale Community Q&A Feedback & Support Abstand eines Punktes von einer Ebene Aufrufe: 127 Aktiv: 08. 09. 2021 um 21:45 0 Hallo, Den Punkt den ich mir aufgestellt habe, lautet P(2+r| 3+r| -5+r). In den Lösungen steht für die dritte Koordinate jedoch nur -5. Warum ist das so? Danke im Voraus! Quelle: Lambacher Schweizer Kursstufe Vektoren Diese Frage melden gefragt 08. 2021 um 21:42 math1234 Schüler, Punkte: 116 Kommentar schreiben 1 Antwort Im Richtungsvektor hast du eine 0 an der Stelle stehen, das ergibt dann $-5+0r=-5$. ;) Diese Antwort melden Link geantwortet 08. 2021 um 21:44 cauchy Selbstständig, Punkte: 22. 07K Kommentar schreiben
Als Abstand eines Punktes zu einer Geraden bezeichnet man die Länge der kürzesten Verbindung zwischen dem Punkt und der Geraden. Diese kürzeste Verbindung findet man, indem man ein Lot von dem Punkt auf die Gerade fällt. Um den Abstand eines externen Punktes P von einer Geraden zu bestimmen, sucht man den Lotfußpunkt F. Der Verbindungsvektor von P zu F steht orthogonal zu dem Richtungsvektor \color{green} \bf{ \overrightarrow {v}}. Rechenbeispiel Schritt für Schritt erklärt Gegeben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}. Gesucht ist der Abstand von P zu g. Schritt 1: Der Ortsvektor zum Fußpunkt F liegt auf der Gerade g: \overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix} Es ist hilfreich, die gesamte Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor in eine gemeinsame Klammer zu schreiben. Schritt 2: Differenzvektor zwischen P und F. \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix} Schritt 3: Orthogonalitätsbedingung: \overrightarrow{PF}*\vec v =0\\[5pt] \begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\[5pt] -48+16r-4+r+9r=0\\ -52+26r=0\\ r=2.
Wenn ich mich nicht täusche ist dieser ja -42; 16;16. Ja, eine Probe bestätigt das. Dieser Punkt liegt auch in der gegebenen Ebene \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \). Jetzt brauchst du dazu zwei Parallelebenen im Abstand 15. Witzigerweise hat der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 2\\10\\11 \end{pmatrix} \) dieser Ebene genau den Betrag 15. Wenn du also zum Ortsvektor von (-42; 16;16. ) diesen Vektor addierst, bekommst du den Ortsvektor des Punktes (-40|26|27). Die Parallelebene mit diesem Punkt hat die Gleichung \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=d\), und das richtige d erhält man, wenn man die Koordinaten von (-40|26|27) einsetzt, erhält man d=477. Die eine Parallelebene im Abstand 15 ist also \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\). Die andere Parallelebene (einen Punkt darin bekommst du, wenn du vom Ortsvektor von (-42; 16;16. ) den Normalenvektor subtrahierst) hat die Gleichung \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\). Die Schnittpunkte der Gerade mit den Ebenen \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\) und \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\).
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