Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Eine Funktion \(f\! : x \mapsto f(x) \ \ (x\in D_f)\) heißt periodisch, wenn es eine von 0 verschiedene Zahl p gibt, sodass für alle \(x\in D_f\) gilt: Mit x ist auch x + p in D f und es ist f ( x + p) = f ( x). p ist dann die Periode dieser Funktion. Beachte: Wenn es eine Periode p gibt, dann hat die entsprechende Funktion gleich unendliche viele Perioden, denn jede Zahl k · p mit \(k \in \mathbb{Z}\) erfüllt die Periodizitätsbedingung genauso. Periodische funktion aufgaben mit. Jede periodische Funktion besitzt somit unendlich viele Perioden. Meist gibt man zu einer Funktion ihre kleinste positive Periode an. Beispiel: \(f:x \mapsto \sin x, \ x\in \mathbb{R}\) ist periodisch mit der Periode \(p=2\pi\), denn es ist \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) für alle \(x\in \mathbb{R}\). \(4\pi\) ist ebenfalls eine Periode von f: \(\sin (x+4\pi) = \sin x\).
Beispiel: Eine Woche hat 7 Tage, jeder Tag 86 400 Sekunden, also hat eine Woche 602 000 Sekunden, die Frequenz ist also 3, 3 · 10 -6 Hz. Streckungen und Stauchungen Hat f die Periode p, so sind für beliebige Konstanten c > 0 und d die Funktionen df (ct) periodisch, und zwar mit Periode p/c. (Der Faktor d verändert die Amplitude! ) Funktion zeichnen und erkennen f(x)= a*sin ( b*(x-c)+d → für Sinusfunktion f(x)= a*cos( b*(x-c)+d →für Cosinusfunktion f(x)= a*tan ( b*(x-c)+d →für Tangensfunktion Bedeutung der Buchstaben Die Amplitude a bewirkt eine Streckung Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge, welche durch die Formel p=2π/b berechnet wird. Der Faktor c bewirkt eine Phasenverschiebung in x-Richtung. Wenn c>0 ist, dann verschiebt sich der Graph nach rechts, bei c<0 nach links Der Faktor d bewirkt eine Verschiebung parallel der y-Achse um d. Das bedeutet, dass jedem Funktionswert die Zahl d dazu addiert wird. Periodizität von Funktionen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Anhand dieser Merkmale kann man periodische Funktionen zeichnen und auch erkennen!
Monotoniebereich 3
Durch diesen Parameter ändert sich die Lage der Nullstellen und der Extremstellen. Wertebereich ändert sich aber nicht. y = sin x + c Der Parameter c hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve: Aufgrund der Periode 2 π kann die Phasenverschiebung nur bis 2 π an der Lage der Hoch- bzw. Tiefpunkte abgelesen werden. Periodische funktion aufgaben 1. Die Periode: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richtung y = sin b x Parameter b bewirkt eine Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse. Durch den Parameter b wird die Periode und damit die Lage der Nullstellen verändert. Der Parameter b hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve: Die neue Periode T ergibt sich aus der Periode der Sinuskurve und dem Parameter b: T = 2 π b Kombination verschiedener Parameter Verschiebung und Streckung lassen sich auch kombinieren. Probiere es aus.
Die allgemeine Form der Gleichung Du kennst die normale Sinuskurve mit y = sin(x). Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z. B. verschiedene periodische Vorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a · sin b x + c + d y = 3 sin -2 x - π + 1 Verschiebung entlang y-Achse y = sin x + d Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse. Dadurch ändert sich der Wertebereich und die Existenz und Lage von Nullstellen. Die Periode ändert sich aber nicht. Der Parameter d hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve: Die Amplitude: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung Parameter a wird im Allgemeinen Streckfaktor genannt. Bei periodischen Funktionen mit nach oben und unten beschränktem Wertebereich wird der Betrag von a auch Amplitude genannt. Durch den Parameter a wird der Wertebereich verändert. Die Lage der Nullstellen ändert sich aber nicht. Periodische Funktionen. Mathematik, 10. Schulstufe: Material, Tests, Übungen. y = a sin x Der Parameter a hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve: Die Phase: Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung Parameter c wird auch Phase genannt.
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