Beweis i. erhält man sofort aus ∣ ∣ 0 ∣ ∣ = ∣ ∣ 2 ⋅ 0 ∣ ∣ = 2 ⋅ ∣ ∣ 0 ∣ ∣ ||0||=||2\cdot 0||=2\cdot||0||. ii. ist ebenso einfach ∣ ∣ − a ∣ ∣ = ∣ ∣ − 1 ⋅ a ∣ ∣ = ∣ − 1 ∣ ⋅ ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ||\uminus a||=||\uminus 1\cdot a||=|\uminus 1|\cdot ||a||= ||a|| □ \qed Bemerkung Durch den Ansatz d ( x, y): = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ d(x, y):=||x-y|| wird auf V V eine Metrik erklärt. Normierte Räume und Banachräume - Mathepedia. Damit ist V V insbesondere ein metrischer Raum. Begriffe, wie konvergente Folge, Cauchyfolge, offene Mengen und abgeschlossene Mengen etc. gelten auch für normierte Räume. Definition Banachraum Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum (benannt nach dem Mathematiker Stefan Banach). Beispiele Reelle Zahlen R n \R^n mit der p-Norm ( R n, ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p) (\R^n, ||\cdot||_p) ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ ξ i ∣ p) 1 p ||x||_p= \left(\sum\limits_{i=1}^n |\xi_i|^p\right)^{\dfrac{1}{p}} für 1 ≤ p < ∞ 1\leq p<\infty, wobei x = ( ξ 1, …, ξ n) x=(\xi_1, \dots, \xi_n). Diese Norm geht für p → ∞ p\to\infty in die die Maximumnorm ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ∣ ξ i ∣ ||x||_\infty=\max_{1\leq i \leq n} |\xi_i| über.
Die Dreiecks Ungleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks mindestens so groß ist wie die andere Dreiecksseite. Dreieck Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist.
In seiner allgemeinen Polygonform beweist es bereits, dass jeder Weg entlang a gestrichelten Linie es ist länger als das entlang des geraden Segments, das die beiden Punkte verbindet. Seit der Länge einer Kurve any ist definiert als die extremes Obermaterial von der Länge der Segmente, die der Kurve angenähert sind, stellt sich heraus, dass es länger ist als diese Segmente und daher auch des geraden Segments zwischen den beiden Punkten. Dreiecksungleichung. Metrische Räume Im Kontext metrischer Räume ist die Dreiecksungleichung eine Eigenschaft, die eine Distanz erfüllen muss, um eine solche zu sein. Sie besagt, dass in einem metrischen Raum, jedoch werden drei Punkte gewählt, ist, es stimmt, dass: [2] Dreiecksungleichung ist für viele interessante Eigenschaften von Metriken verantwortlich, auch für die Konvergenz: Dank ihr kann gezeigt werden, dass jede shown konvergente Abfolge in einem metrischen Raum ist es eins Cauchy-Nachfolge. [6] Genormte Räume Dreiecksungleichung für normierte Vektoren: die Norm von x ja ist kleiner als die Summe der Normen von x ist ja.
Streicht man identische Terme und setzt so bleibt zu zeigen. Mit erhält man bzw. was wegen und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist. Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch Dreiecksungleichung von Betragsfunktionen für Körper [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper auch durch die etabliert. Sie hat zu gelten für alle Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist eine Betragsfunktion für den Körper Ist für alle ganzen, dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch. Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die verschärfte Dreiecksungleichung Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Dreiecksungleichung – Wikipedia. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch. Dreiecksungleichung für Summen und Integrale [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt für reelle oder komplexe Zahlen.
Dreiecksungleichung für metrische Räume In einem metrischen wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung gilt. Außerdem gilt für beliebige die Ungleichung. Basierend auf einem Artikel in: Seite zurück © Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17. 04. 2020
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