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Wegen und gilt im Dreieck die Gleichung. Aus der Umkehrung des Satz des Pythagoras folgt, dass das Dreieck im Punkt rechtwinklig ist. Mit dem Satz des Pythagoras kann auch gezeigt werden, dass das Skalarprodukt der Vektoren und gleich Null ist: Es ist und. = =, woraus folgt, dass der Kosinus des Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einen Rechten Winkel in C hat. Trigonometrischer Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sind der Winkel, der der Radius und die Punkte, mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann hat der Punkt die Koordinaten. Die Seite hat die Steigung und die Seite hat die Steigung. Wegen ist das Produkt der Steigungen gleich. Daraus folgt, dass die Seiten und zueinander orthogonal sind und einen rechten Winkel bilden. Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv. Anwendungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Konstruktion einer Kreistangente [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt.
Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron.
Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B. I. -Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. György Hajós: Einführung in die Geometrie. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a. ) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg. ): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch). Elementarer Beweis Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (deutsch) (PDF; 88 kB) Walter Fendt: Die heronische Formel für die Dreiecksfläche (PDF; 82 kB) – Beweis und Folgerungen Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Ausführlicher Beweis siehe auch Wikibooks-Beweisarchiv.
Oder: Hat das Dreieck bei einen rechten Winkel, so liegt auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser. Beweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner Elemente mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her: [2] In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. [3] Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°. ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit als Kreisdurchmesser und dem Radius. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen, und sind also gleich dem Radius. Die Strecke teilt das Dreieck in zwei Dreiecke und auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite bzw., sind daher jeweils gleich ( beziehungsweise in der Abbildung). Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°: Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich.
Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes. Vereinfacht lautet er: Alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke sind rechtwinklig. Der erste Beweis wird dem antiken griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. [1] Die Aussage des Satzes war bereits vorher in Ägypten und Babylonien bekannt. Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden End punkten des Durchmessers eines Halbkreises ( Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck. Oder: Liegt der Punkt eines Dreiecks auf einem Halbkreis über der Strecke, dann hat das Dreieck bei immer einen rechten Winkel. Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
↑ Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen beliebig vertauschen lassen. ↑ György Hajós: Einführung in die Geometrie. Teubner Verlag, Leipzig, S. 380–381 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. ) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 111. ↑ Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.