exp und ln - Kurvendiskussion - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym Allgemeine Hilfe zu diesem Level Tastatur Tastatur für Sonderzeichen Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen. Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind. Gegeben ist die Funktion f mit und maximalem Definitionsbereich. Der Graph von f wird mit bezeichnet. b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge. c) Berechne alle Nullstellen von f. d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von. e) Berechne f(8) und zeichne auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall. f) Gib die Wertemenge von f an. Gegeben ist die Schar von Funktionen mit, Definitionsmenge und. Der Graph von wird mit bezeichnet. a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von für x→±∞ an. b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von in Abhängigkeit von k. c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
Inhaltsübersicht Hier erfährst du, welche Schritte du bei einer Kurvendiskussion durchführen kannst und was du dafür benötigst! Die Kurvendiskussion beschreibt die Analyse einer Funktion auf besondere Eigenschaften. Dazu zählen: besondere Punkte des Funktionsgraphen das Verhalten des Funktionsgraphen die möglichen x x x - und y y y -Werte Besondere Punkte \Large{y} y \Large{y} -Achsenabschnitt Der y y y -Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt des Graphen mit der y y y -Achse. Zur Bestimmung solltest du Folgendes können: 0 0 0 in die Funktion einsetzen Nullstellen Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Graph die x x x -Achse schneidet. Zur Bestimmung musst du die Funktion mit 0 0 0 gleichsetzen und nach x x x auflösen. Häufig verwendete Methoden zur Bestimmung der Nullstellen, die du kennen solltest, sind: Satz vom Nullprodukt pq-Formel oder abc-Formel (Mitternachtsformel) Polynomdivision Substitution Extrempunkte Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Dort ist die Tangentensteigung 0 0 0.
Auch bei e-Funktionen lässt sich eine Kurvendiskussion durchführen! Merke Beachte beim Nullsetzen und Berechnen einer Gleichung mit $e$, dass $e$ hoch irgendwas nie null ergibt. $e^{x}>0$ mit $x\in\mathbb{R}$ Beispiel Untersuche $f(x)=x\cdot e^x$ auf folgende Eigenschaften: Nullstellen Extrempunkte Wendepunkte Ableitungen bestimmen Zum Ableiten die Produktregel nutzen. $f(x)=x\cdot e^x$ $f'(x)=x\cdot e^x+e^x$ $=e^x(x+1)$ $f''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+2)$ $f'''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+3)$ Nullstellen Nullstellenberechnung: Funktion gleich Null setzen $f(x)=0$ $x\cdot e^x=0$ Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. $e^x>0$ (kann nie null werden! ) und $x_N=0$ Extrempunkte Extrempunkt berechnen: Erste Ableitung gleich Null setzen $f'(x)=0$ $e^x(x+1)=0$ $x+1=0\quad|-1$ $x_E=-1$ extremwertverdächtige Stelle in die zweite Ableitung einsetzen: $f''(-1)=e^{-1}>0$ => Tiefpunkt y-Koordinate berechnen und Tiefpunkt angeben: $f(-1)$ $=-1\cdot e^{-1}$ $=-e^{-1}$ $\approx-0, 37$ $T(-1|-0, 37)$ Wendepunkte Wendepunkt berechnen: Zweite Ableitung gleich Null setzen $f''(x)=0$ $e^x(x+2)=0$ $e^x>0$ (kann nie null werden! )
Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion anschauen. Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x) Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich Um den Wertebereich bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der, wenn er negativ ist. Da der Wertebereich entweder oder beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt. Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion schnell abhaken. Die Funktion besitzt keine Nullstellen. Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter auf den y-Achsenabschnitt aus. Zur Erinnerung: Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von, da. Da der Parameter die Streckung in um den Faktor ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an. e) Bestimme den Wert für so, dass durch den Punkt verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit. a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen? b) Gib alle Nullstellen an. c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte. d) Berechne f(-0, 5), f(0) und f(4) und zeichne auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall. e) Die Tangente an an der Stelle bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
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