Addiert man auf der rechten Seite 0 = P ( A ∩ B) − P ( A ∩ B), so folgt ebenso nach Axiom 3 P ( A ∪ B) = P ( A) + ( P ( A ¯ ∩ B) + P ( A ∩ B)) − P ( A ∩ B) = P ( A) + P ( ( A ¯ ∩ B) ∪ ( A ∩ B)) − P ( A ∩ B), da ( A ¯ ∩ B) ∩ ( A ∩ B) = ∅ ist. Wegen ( A ¯ ∩ B) ∪ ( A ∩ B) = B gilt dann: P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) w. z. b. w. Wir betrachten dazu ein Beispiel aus dem Bereich der Glücksspiele. Glücksspiele wurden in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht allein deswegen analysiert, weil sie an sich so wichtig waren, sondern weil man an ihnen das Wesentliche ohne viele Störfaktoren darstellen kann. Wahrscheinlichkeitsrechnung - Bernoulli-Formel. (BOROVCNIK) Beispiel: Beim Skatspielen erhält Tessa (genau) zehn der 32 Karten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie vier Buben oder genau drei Damen?
Wie wirkt sich dies auf den Fehler aus, wenn das Durchschnittsgewicht tatsächlich 250g ist, und wenn es nicht 250g ist? Wenn µ = 250g ist, ist die Nullhypothese wahr. Lehnen wir sie ab, begehen wir einen Fehler 1. Art. Wenn µ ≠ 250g ist, ist die Nullhypothese falsch. Wenn wir sie ablehnen, treffen wir die richtige Entscheidung. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art berechnen Wenn man wissen will wie gut oder schlecht eine Hypothese ist, muss man auch wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine falsche Aussage zu treffen. Ein Fehler 1. Art passiert, wenn wir eine wahre Nullhypothese ablehnen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, nennt man Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit. Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben α abgekürzt und beträgt in der Regel 5% oder 1%. Im Gegensatz zum Fehler 1. Thema: Wahrscheinlichkeit – Statistik: Ein Schlüsselkonzept. Art, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art in der Regel nicht berechnen. Im allgemeinen gilt: je kleiner die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler der 1.
Das Wort "Stochastik" steht für die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Beide Teilgebiet sind für fast alle MINT-Fächer von erheblicher Bedeutung. Aus diesem Grund soll auf in dieses Themengebiet eingeführt werden. Die Bernoulli-Kette und Binomialverteilung Die Bernouli-Kette und Binominalverteilung beschreibt die Anzahl der Ergebnisse von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben (es liegt also ein Bernoulliexperiment vor). Man könnte natürlich auch anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit berechnen, was aber meist sehr unübersichtlich zu zeichnen wäre, da die Bernoullikette für eine sehr große Anzahl an Experimenten verwendet wird (z. B. Hätte man 100 Versuche, müsste man 100 Verästlungen zeichen, wobei von jeder Verästlung 2 Äste ausgehen). Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeit statistik bw. Bernoulli-Kette Ist nichts anderes, als eine Nacheinanderausführung von n voneinander unabhängigen Bernoulliexperimenten. Bernoulli-Formel Bernoulli-Formel: Mit Hilfe der obigen Bernoulli-Formel erhält man für jede mögliche Trefferzahl k einen Wahrscheinlichkeitswert P(X=k).
5 Ebenen im Raum – Die Punktprobe 6. 6 Orthogonale Vektoren – Skalarprodukt 6. 7 Normalen- und Koordinatengleichung einer Ebene 6. 8 Ebenengleichung umformen – Das Vektorprodukt 6. 9 Ebenen veranschaulichen – Spurpunkte und Spurgeraden 6. 10 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden 6. 11 Gegenseitige Lage von Ebenen VII Abstände und Winkel 7. 1 Abstand Punkt und Ebene – HNF 7. 2 Abstand Punkt und Gerade 7. 4 Winkel zwischen Vektoren – Skalarprodukt 7. 5 Schnittwinkel 7. 6 Anwendung des Vektorprodukts 7. 7 Spiegelung und Symmetrie VIII Wahrscheinlichkeit 8. 1 Binomialverteilung 8. 2 Probleme lösen mit der Binomialverteilung 8. 3 Linksseitiger Hypothesentest 8. Schlüsselkonzept wahrscheinlichkeit statistik john hopkins. 4 Rechtsseitiger Hypothesentest Mathe Kursstufe mit GTR I Schlüsselkonzept: Ableitung 1. 1 Wiederholung: Ableitung und Ableitungsfunktion 1. 2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen 1. 3 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 1. 4 Kriterien für Extremstellen 1. 5 Kriterien für Wendestellen GTR – Anwendung in den Kapiteln 1.
Unterhalb ein weiteres Beispiel: Beispiel In einer Fabrik packt eine Maschine jeweils 250g Käse ab. H 0: µ = 250g (die Maschine arbeitet korrekt) H 1: µ ≠ 250g (die Maschine arbeitet nicht korrekt) wobei µ das durchschnittliche Gewicht der Packungen ist. Fehler 1. Art Betrachten wir nun, welche Fehler bei unseren Hypothesen auftreten können. Bei einem Fehler 1. Bernoulli Experiment • Formel von Bernoulli, Wahrscheinlichkeit · [mit Video]. Art, wird die Nullhypothese ( H 0) abgeleht, trotz der Tatsache, dass sie stimmt. Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass die Maschine zwar korrekt arbeiten würde (daher µ = 250g), wir in unserer Stichprobe feststellen würden, dass das Durchschnittsgewicht µ ≠ 250g ist. Beim Fehler 2. Art passiert genau das Gegenteil: die Maschine arbeitet nicht korrekt, sie packt also nicht ein Durchschnittsgewicht von 250g Käse ab, unsere Stichprobe zeigt dies allerdings nicht an. Laut ihr arbeitet die Maschine korrekt. Wir können natürlich auch eine richtige Entscheidung gemäß unserer Stichprobe fällen. Was passiert aber, wenn unsere Stichprobe aussagt, dass unsere Nullhypothese falsch sei − daher dass µ ≠ 250g.
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Publikationen: Sanke 1999 M. Sanke, Zülpich-Sinzenich, Pfarrkirche St. Kunibert (Grabungsvorbericht). Bonner Jahrbücher 1999, 479-482.