Die Verteilung ${\cal{P}}_ {N-1}$ ist die, bei der ein Team alle Spiele gewinnt, ein zweites alle bis auf die 2 Spiele gegen das erste Team, das dritte gewinnt alle Spiele bis auf die gegen die ersten beiden Teams usw., dann gilt: {\cal{P}}_{N-1}:=\{P_n = 6(N-n), \;n=1,..., N\} \qquad \Rightarrow \qquad G_N({\cal{P}}_{N-1}) = \frac{N+1}{3N}. Im Allgemeinen gilt die geschlossene Form: G_N({\cal{P}}_{\ell}) = \frac{\ell}{N}\frac{4N^2-5N\ell+2\ell^2-N+l-1}{2N^2+2N\ell-\ell^2-2N-\ell}. Für ein festes $N$ gibt es ein $\ell=\ell_N$, für das gilt: G_N({\cal{P}}_{1}) < G_N({\cal{P}}_{2}) <... < G_N({\cal{P}}_{\ell_N}) G_N({\cal{P}}_{\ell_N}) > G_N({\cal{P}}_{\ell_N+1}) >... Gini koeffizient excel converter. > G_N({\cal{P}}_{N-1}). Der maximale Gini-Koeffizient in Ligen Conjecture Der maximalen Gini-Koeffizient $G_N^{max}:=\max_{{\cal{P}}}G_N({\cal{P}})$ ist gegeben durch die Verteilung ${\cal{P}}_{\ell_N}$ mit $\ell_N=N/2+1$, so dass gilt: G_N^{max} = G_N({\cal{P}}_{N/2+1}) = \frac{4N^3+N^2-10N+8}{11N^3-6N^2-8N}. Für $N=18, 20$ gilt dann explizit: G_{18}^{max}=\frac{2935}{7758}=0.
Die rechte Grafik zeigt den Verlauf der 1. und 2. Bundesliga für die Saison 17/18. Die zweite Liga war deutlich ausgeglichener, dies spiegelt sich in den $\hat{G}_N$-Werten von 0. 417… zu 0. 218… klar wieder. An dieser Stelle sei noch bemerkt, die erreichte Gesamtpunktzahl $E:=N\langle {\cal{P}}\rangle$ geht in die Definition des Gini-Koeffizienten im Nenner ein. Für die oben diskutierten Verteilungen ${\cal{P}}_\ell$ variiert dies deutlich und ist der Mitgrund dafür, dass eine untypische Verteilung ${\cal{P}}_{N/2+1}$ existiert, die den Gini-Koeffizient maximiert. In der Praxis gibt es, wie auch in der rechten Grafik zu erkennen ist, eine nur sehr schwache Variation von $E$. STATISTIK-FORUM.de - Hilfe und Beratung bei statistischen Fragen. Für die erste Liga lag der Wert in den letzten 6 zurückliegenden Spielzeiten bei $\langle E \rangle = 0. 918 \pm 0. 008$. Fazit Den normierten Gini-Liga-Koeffizienten $\hat{G}_N$ werden wir in weiteren Vergleichen von Ligen als Maß für die Ungleichheit der Liga verwenden, ob die Werte den subjektiven Einschätzungen entsprechen, muss dann gesehen werden.
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