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Erholsamer Urlaub im Ferienhaus in Costa Paradiso Ein Ferienhaus in Costa Paradiso liegt an der Nordküste der italienischen Insel Sardinien. Hier machen Gäste abseits der großen Touristenorte Urlaub an weichen Sandstränden. Das Meer schillert türkisblau und leuchtend rote Steilklippen ragen in die Luft. Auf Wanderungen und Fahrradtouren entlang der Küstenlinien bietet sich ein gigantischer Panoramablick auf das Wasser. Bei Ausflügen in die Umgebung erkunden Sie prähistorische Stätten oder besuchen Wochenmärkte mit regionalen Delikatessen. Wer in der Ferienwohnung nicht selbst kochen möchte, der bestellt in den örtlichen Restaurants leckere Gerichte wie gegrillte Meerbarbe oder die Mini-Nudeln Malloreddus mit würziger Tomatensoße. Wichtige Informationen zum Ferienhaus in Costa Paradiso Entspannte Tage an karibisch anmutenden Stränden und romantischen Buchten verbringen Besucher an der Costa Paradiso. ▸ Ferienhäuser in Costa Paradiso, Sardinien privat mieten. Das Wahrzeichen des Ortes sind die glutroten Felsklippen, die von Wind und Wetter bizarr geformt sind und eine spektakuläre Kulisse für Erholungs- und Aktivurlaub bieten.
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Discussion: Beweis Wurzel 3 = irrational (zu alt für eine Antwort) Hallo! Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen? Hi! Post by Heiki Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen? Genauso, wie der Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist:) Angenommen Wurzel(3) wäre rational. Dann wäre Wurzel(3) = p/q mit ganzen Zahlen p, q teilerfremd und 3 = p^2 / q^2 <=> p^2 = 3 q^2 Schau Dir jetzt die Primfaktorzerlgung von p^2 und q^2, bzw. p und q an und zähle ab. Viele Grüße, Marco Marco Lange schrieb Post by Marco Lange Hi! Post by Heiki Kann mir jemand bei dem Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist, helfen? Genauso, wie der Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist:) Angenommen Wurzel(3) wäre rational. Oder mal etwas anders als schulüblich (mit Extremalprinzip): Angenommen es gäbe eine natürliche Zahl n, für die n*W(3) ganz ist, dann kann man dieses n minimal wählen. Dann ist n*W(3)-n eine natürliche Zahl, die kleiner als n ist, und da dann auch (n*W(3)-n)*W(3) = 3n - n*W(3) ganz ist, hat man einen Widerspruch zur Minimalität von n. Klaus-R.
Warum ist eine Zahl direkt irrational, wenn sie nicht als p/q mit p und q teilerfremd (und natürlich q ungleich 0) dargestellt werden kann? Bzw warum ist eine Zahl rational, wenn sie als Bruch p/q dargestellt werden kann, wobei p und q teilerfremd. sind. Was hat es mit dieser Teilerfremdheit auf sich? (ich brauche das übrigens für Beweise, wie z. B beweise durch indirekten Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist bzw. die Wurzel aus 4 rational)
Es wäre schön, wenn ich eine Rückmeldung bekommen würde. Ich hoffe auch, dass Du das mit dem Pascalschen Dreieck verstanden hast. Gruß Omi67 Übrigens: es muss 9m² heißen und nicht 12m² -hab mich vertan #1 Die Klammern lassen sich mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lösen. Und das geht so: (2n+1)²= 1 *(2n)^ 3 *1^0+ 3 *(2n)^2*1^1+ 3 *(2n)^1*1^2+ 1 *(2n)^0*1^3 vereinfacht sieht das dann so aus: (2n+1)³ = (2n)³+3*(2n)²+3*(2n)+1 (2n+1)³= 8n³+12n²+6n+1 (2m+1)³= 8m³+12m²+6m+1 8n³+12n²+6n+1=3*(8m³+12m²+6m+1) 8n³+12n²+6n+1=24m³+36m²+18m+3 8n³+12n²+6n-24m³-36m²-18m =2 4*(2n³+3n²+1, 5n-6m³-12m²-4, 5m)=2 |:2 2*(2n³+3n²+1, 5n-6m³-12m²-4, 5m) =1 Die Annahme war, die 3. Wurzel aus 3 ist rational Die linke Seite ist gerade. Eine Zahl, die mit 2 multipliziert wird, ist immer gerade. Die rechte Seite ist ungerade. Das ist ein Widerspruch. Somit ist bewiesen, dass die 3. Wurzel aus 3 irrational ist. q. e. d #2 +12514 Beste Antwort Ich hatte vergessen, mich anzumelden. Gruß Omi67 Übrigens: es muss 9m² heißen und nicht 12m² -hab mich vertan
Lesezeit: 3 min Um die Existenz der irrationalen Zahlen zu beweisen, nutzen wir einen sogenannten "Widerspruchsbeweis". Warum ist Wurzel 2 irrational? Zuerst nehmen wir an, dass √2 eine rationale Zahl ist, dass also \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) gilt, wobei dieser Bruch vollständig gekürzt sein soll. Das heißt insbesondere, dass beide Zahlen p und q ganze Zahlen sind und nicht gerade. Dann gilt: \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \qquad | ()^2 \\ (\sqrt{2})^2 = \frac{p^2}{q^2} 2 = \frac{p^2}{q^2} \qquad |·q^2 p^2 = 2·q^2 \) Also ist p² eine gerade Zahl und damit auch p. Wenn p eine gerade Zahl ist, dann muss eine ganze Zahl p existieren mit der Eigenschaft p = 2·k. Setzen wir p = 2·k in die letzte Gleichung ein, so erhalten wir: p² = 2·q² | p=2·k (2·k)² = 2·q² 4·k² = 2·q² |:2 q² = 2·k² Damit ist also q² und somit auch q eine gerade Zahl. Es gibt also zwei Aussagen: - p ist eine gerade Zahl. - q ist eine gerade Zahl. Dies jedoch widerspricht der ersten Annahme, dass beide Zahlen nicht gerade sein dürfen.
In der Abhandlung Elemente des griechischen Mathematikers Euklid ist ein Beweis dafür überliefert, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist. Dieser zahlentheoretische Beweis wird durch Widerspruch ( Reductio ad absurdum) geführt und gilt als einer der ersten Widerspruchsbeweise in der Geschichte der Mathematik. Aristoteles erwähnt ihn in seinem Werk Analytica priora als Beispiel für dieses Beweisprinzip. [1] Der unten angeführte Beweis stammt aus Buch X, Proposition 117 der Elemente. Es wird jedoch allgemein angenommen, dass es sich dabei um eine Interpolation handelt, also dass die Textstelle nicht von Euklid selbst stammt. Aus diesem Grund ist der Beweis in modernen Ausgaben der Elemente nicht mehr enthalten. Irrationale Größenverhältnisse waren schon dem Pythagoreer Archytas von Tarent bekannt, der Euklids Satz nachweislich schon in allgemeinerer Form bewies. Früher glaubte man, das Weltbild der Pythagoreer sei durch die Entdeckung der Inkommensurabilität in Frage gestellt worden, da sie gemeint hätten, die gesamte Wirklichkeit müsse durch ganzzahlige Zahlenverhältnisse ausdrückbar sein.
hagman 16:57 Uhr, 08. 2008 Bis gerade eben war der im Artikel stehende Beweis zugegebenermaßen grauenvoll formuliert. Vielleicht ist er jetzt leichter verständlich. Ansonsten gilt: für n ∈ ℕ ist n entweder irrational oder sogar ganz. Dann kommt man aber nicht mehr mit einfachen gerade-ungerade-Überlegungen aus, sondern verwendet die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Aus n = a b folgt n ⋅ b 2 = a 2. Jede Primzahl p taucht rechts in a 2 in gerader Potenz auf (nämlich in doppelter Potenz wie in a selbst), ebenso in b 2. Damit p auch in n ⋅ b 2 in gerader Potenz auftaucht, muss p auch in n in gerader Potenz auftauchen, d. h. n ist das Produkt aus lauter Primzahlpotenzen mit geraden Expononenten und folglich ein Quadrat (nämlich derjenigen natürlichen Zahl, die man erhält, indem man alle diese geraden Exponenten halbiert). Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.