a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Toto – Tippzettel auszufüllen? b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Tipp mit 11 richtigen? Lösung: a)Modellierung mit dem Urnenmodell: Eine Urne enthält drei Kugeln mit den Nummern 0; 1 und 2. Es wird 11 mal gezogen mit Zurücklegen. Ziehen mit Zurücklegen - Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt!. b) Übung: Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils 6 Ziffern ( von 1 bis 6)enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenkombination. Wie viele Stellungen (Zahlenkombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen? Lösung unten Übung: Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurücklegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen? Lösung unten Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Beispiel: In einer Urne liegen 4 Kugeln mit den Farben rot, gelb, grün und blau.
Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch. Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment. Man sollte versuchen solche Aufgaben mit etwas gesundem Menschenverstand anzupacken. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Experiment ausgehen. Mehrstufige Zufallsversuche (ohne zurücklegen) – www.mathelehrer-wolfi.de. Mehr lesen: Laplace Regel Binomialkoeffizient der Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Binomialkoeffizient der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Der Versuch wird dabei ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge durchgeführt.
Binomialkoeffizient berechnen Kommen wir nun zur Schreibweise für den Binomialkoeffizienten und zu dessen Berechnung. Dazu benötigt ihr das Wissen, wie man die Fakultät ( Was ist Fakultät? ) berechnet. Im nun Folgenden findet ihr die Schreibweise sowie deren Berechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik). Wie berechne ich Untermengen, Reihenfolge unwichtig, ohne Zurcklegen. Erklärungen gibt es im Anschluss. Erklärung: Auf der linken Seite findet ihr die Kurzschreibweise für den Binomialkoeffizient, gesprochen "n über k". Auf der rechten Seite seht ihr den Bruch, wie er berechnet wird. Die folgenden Beispiele dürften dies noch verdeutlichen. Beispiel 1: Mehr lesen: Binomialkoeffizient Zufallsexperimente Beginnen wir mit der Definition des Begriffs Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen Einstufiges Zufallsexperiment Unter einem einstufigen Zufallsexperiment der Wahrscheinlichkeitsrechnung versteht man ein Zufallsexperiment, welches nur ein einziges Mal durchgeführt wird.
Was ist die Kombinatorik? Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge ohne Beachtung der Reihenfolge Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge ohne Beachtung Reihenfolge Was ist die Kombinatorik? Ein Teilgebiet der Stochastik ist die Kombinatorik. Hier geht es darum, die Möglichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche zu zählen. Sehr anschaulich lässt sich das am Urnenmodell erklären: In einer Urne befinden sich mehrere Kugeln, die nacheinander gezogen werden. Dabei macht es einen entscheidenden Unterschied, wie man dieses Experiment durchführt. Wird die Reihenfolge gezogener Kugeln beachtet? Legt man eine gezogene Kugel wieder in die Urne zurück? Man kann mit einem Urnenmodell insgesamt vier verschiedene Experimente durchführen, die wir im Folgenden genauer betrachten. Ziehen mit Zurücklegen Wenn nach jedem Ziehen die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, ändert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne nicht. Die grüne Kugel wird in die Urne zurückgelegt. Sie kann im nächsten Durchgang wieder gezogen werden.
Man zieht eine Kugel, registriert die Nummer, legt die Kugel zur Seite und wiederholt den Vorgang. Insgesamt sind 4 Züge möglich, dann ist die Urne leer. Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglichkeiten)? Wie aus dem Baumdiagramm leicht abzulesen ist, verringert sich von Stufe zu Stufe die Anzahl der Äste um 1. Die aus dem Baumdiagramm abzulesende Gesetzmäßigkeit lässt sich verallgemeinern. Betrachtet man nun eine Urne mit n Kugeln nummeriert von 1 bis n und führt k Züge ohne zurücklegen durch, so gilt für die Anzahl der Möglichkeiten: Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät. Satz: Beispiel: Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben. a)Wie viele Passwörter sind möglich? b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Code mit einem Versuch geknackt werden? Lösung:a)Es stehen alle 26 Buchstaben des Alphabets genau einmal zur Verfügung. Für den ersten Buchstaben des Wortes kommen alle 26 Buchstaben des Alphabets, für den zweiten nur noch 25 Buchstaben in Frage usw.
Für unser Experiment erhalten wir dann mit $n=5$ und $k=4$ folgende Anzahl möglicher Kombinationen: $5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5 =625$ Anwendungsbeispiel: Bei einem vierstelligen Handycode stehen für jede Stelle jeweils zehn Ziffern, nämlich von $0$ bis $9$, zur Verfügung. Vergleicht man den vierstelligen Code mit der Anzahl der zu ziehenden Kugeln ($k$) und die zehn möglichen Ziffern mit den Kugeln insgesamt ($n$), erhält man $10^{4} = 10000$ Möglichkeiten. ohne Beachtung der Reihenfolge Nun ziehen wir aus dem gleichen Urnenmodell wieder vier Kugeln. Die gezogene Kugel wird wieder nach jedem Zug in die Urne zurückgelegt. Diesmal spielt die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, allerdings keine Rolle. Nach dreimaligem Durchführen dieses Experimentes erhalten wir wieder das im Folgenden abgebildete Ergebnis: Da die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht beachtet wird, geht es grundsätzlich darum, wie viele Kugeln von welcher Farbe gezogen wurden. Somit zählen die ersten beiden Durchgänge als eine Möglichkeit.
Somit ändert sich die Anzahl an Kugeln im Gefäß mit jeder Ziehung. Dafür gilt folgende Regel: Soll aus dem Gefäß mit der Anzahl von n Kugeln ein Umfang von n gezogen werden – es werden folglich alle Kugeln entnommen – so ergibt sich für die geordnete Stichprobe eine Anzahl von g = n! Möglichkeiten. ispiel – Möglichkeiten In dem Gefäß befinden sich 6 Kugeln. Alle Kugeln werden bei der Ziehung nacheinander gezogen. Was ist die Anzahl an Möglichkeiten für eine Ziehung? Lösung: g = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 Möglichkeiten Natürlich kann es passieren, dass nicht alle Kugeln aus dem Gefäß gezogen werden. Für diesen Fall gibt es auch eine Formel. Hierfür benötigen wir erneut den Binomialkoeffizienten. Wir überlegen wie folgt: Wenn aus einem Gefäß mit n Kugeln ungeordnete Stichproben vom Umfang k entnommen werden, ergibt sich diese Menge an Möglichkeiten. ispiel – Stichprobe In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. Nun werden 6 Kugeln aus dieser gezogen, ohne die Kugeln zurückzulegen. Berechne die Anzahl an Möglichkeiten.
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