Wann sind zwei Dreiecke kongruent und welche Kongruenzsätze gibt es? Hier lernst du, was es bedeutet, wenn zwei Dreiecke kongruent sind. Und du lernst ein paar Regeln, die festlegen, was du über zwei Dreiecke wissen musst, um dir sicher zu sein, dass sie kongruent sind. Was bedeutet kongruente Dreiecke? Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das heißt du kannst sie auf ein Blatt Papier zeichnen, ausschneiden, drehen und wenden, wie du willst und dann übereinander legen, so dass beide Dreiecke gleich sind. Alle entsprechenden Seiten und Winkel müssen also gleich sein. Sie können aber anders heißen und angeordnet sein. Da die Winkelsumme in Dreieck immer 180° ist, brauche ich nur zwei der Winkel vergleichen. Sind sie gleich, muss auch der dritte Winkel gleich sein. Es gibt weitere ähnliche Argumente. Am Ende brauchst du immer drei Größen, zum Beispiel die drei Seiten des Dreieck angegeben. Wenn du aber drei Winkel gegeben hast, dann reicht dies nicht, um auszusagen, dass zwei Dreiecke kongruent sind.
Was heißt kongruent? Beispiel: Sieh dir die Stoppschilder an. Diese 4 Stoppschilder sind zueinander kongruent. Sie sind zueinander verschoben, gedreht oder gespiegelt. Zwei beliebige ebene Figuren (Dreiecke, Vierecke, Kreise, …) heißen kongruent zueinander, wenn du sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln ineinander überführen kannst. Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen heißen deshalb auch Kongruenzabbildungen. Kongruenz kommt von dem lateinischen Wort "congruentia" und bedeutet auf deutsch "Deckungsgleichheit". Und was ist nicht kongruent? Beispiel: Diese Stoppschilder sind nicht kongruent zueinander, weil sie vergrößert oder verkleinert wurden: Figuren, die zwar nicht mehr kongruent sind, aber duch Vergrößern oder Verkleinern auseinander hervorgehen, heißen ähnlich. Kongruente Dreiecke Wenn 2 Dreiecke kongruent sind, stimmen bei ihnen alle Seiten und alle Winkel überein. Wie kannst du schnell prüfen, ob Dreiecke kongruent zueinander sind? Dazu nimmst du einen der vier Kongruenzsätze.
Allerdings sehen diese Dreiecke irgendwie ähnlich aus. Solche ähnlichen Dreiecke erhält man auch, wenn man zum Beispiel die Verhältnisse aller Seiten zueinander kennt. Dies ergibt sich aus den Strahlensätzen, wie die folgende Zeichnung verdeutlicht: Ähnlichkeitssätze für Dreiecke 5. 17 Zwei Dreiecke heißen zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und damit wegen der Winkelsumme in drei) Winkeln übereinstimmen, oder in allen Verhältnissen ihrer entsprechenden Seiten übereinstimmen, oder in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen, oder im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Eine Besonderheit gibt es bei dem rechten und dem linken Dreieck in Beispiel 5. 16: Hier geht das eine Dreieck durch zentrische Streckung mit dem Streckzentrum S und einem Streckfaktor k in das andere über.
Danach wird ein Beispiel zu Dreiecken betrachtet, bei denen nur die Winkel gegeben sind und somit keine der obigen Bedingungen erfüllt ist. Beispiel 5. 14 Gegeben seien die Seiten b und c und der Winkel α. Das Dreieck "sws" erhält man, indem man zunächst eine Seite, hier zum Beispiel die Seite c, zeichnet und an der nach der Bezeichnungskonvention passenden Ecke ( A) den Winkel α anfügt. Dann schlägt man um diese Ecke einen Kreis, dessen Radius der Länge der zweiten Seite (hier b) entspricht. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem zweiten Schenkel des Winkels bildet die dritte Ecke des Dreiecks ( C). Aufgabe 5. 15 Konstruieren Sie ein Dreieck mit einer Seite c = 5 und den Winkeln α = 30 ∘ und β = 120 ∘, wobei die oben eingeführte Notation verwendet wird. 16 Gegeben seien nun die drei Winkel α = 77 ∘, β = 44 ∘ und γ = 59 ∘, deren Summe 180 ∘ ist. Diese Auswahl von drei Winkeln ohne Angabe zu einer Seite findet man nicht bei den Kongruenzsätzen 5. 13. Beispiele solcher Dreicke sind hier dargestellt: Es gibt sogar unendlich viele derartige Dreiecke, die die angegebenen Winkel haben und die nicht kongruent zueinander sind, also nicht durch Drehung oder Spiegelung ineinander übergeführt werden können.
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