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Übe das Lösen von quadratischen Gleichungen mit diesem Arbeitsblatt Umfangreiches Arbeitsblatt mit vielen Aufgaben von quadratischen Gleichungen, die mit verschiedenen Verfahren gelöst werden sollen. Ausklammern und Faktorisieren Quadratische Ergänzung p-q-Formel Dieses Aufgabenblatt enthält 33 Aufgaben zum Lösen von quadratischen Gleichungen mit den verschiedenen Verfahren. Jede Aufgabe wird ausführlich gelöst! Beispiel für die Lösung einer Aufgabe durch Faktorisieren: Beispiel für die Lösung einer Aufgabe durch quadratische Ergänzung: Beispiel für die Lösung einer Aufgabe mit der p-q-Formel: Die Vorlage im ODT-Format (Open Office) kann genutzt werden, um ein eigenes Aufgabenblatt zusammenzustellen.
Quickname: 7488 Geeignet für Klassenstufen: Klasse 9 Klasse 10 Material für den Unterricht an der Realschule, Material für den Unterricht an der Gemeinschaftsschule. Zusammenfassung Eine quadratische Gleichung ist über die Bildung der quadratischen Ergänzung zu lösen. Beispiel Beschreibung Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung ist zu bestimmen. Dazu ist die quadratische Ergänzung zu nutzen. Auf Wunsch wird der Lösungsweg im Lösungsblatt in den Schritten - Normierung - Quadratische Ergänzung - rechte Seite zusammenfassen - Quadrat bilden - Wurzel ziehen - Angeben der Lösungsmenge detailliert dargestellt. In der Aufgabenstellung können diese Schritte als Lückentext präsentiert werden, es sind dann die korrekten Werte einzutragen. In der Aufgabenstellung wird nach der Lösung einer quadratischen Funktion gefragt. Es kann eingestellt werden, ob auch auf den Lösungsweg über die quadratische Ergänzung hingewiesen werden soll. Zur Vereinfachung oder Erschwerung der Aufgabe kann der Grad der Normierung verändert werden.
Wie das funktioniert, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an. Grundsätzlich lösen wir gemischtquadratische Gleichungen (mit Absolutglied) folgendermaßen: Beispiele Beispiel 2 Löse die quadratische Gleichung $$ 2x^2 + 12x + 10 = 0 $$ mithilfe der quadratischen Ergänzung. Quadratische Gleichung in Normalform bringen $$ \begin{align*} 2x^2 + 12x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x^2 + 6x + 5 &= 0 \end{align*} $$ Absolutglied auf die rechte Seite bringen $$ \begin{align*} x^2 + 6x + 5 &= 0 &&{\color{gray}|\, -5} \\[5px] x^2 + 6x &= -5 \end{align*} $$ Quadratische Ergänzung durchführen Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$: $$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}6}x &= -5 &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right. } \\[5px] x^2 + 6x {\color{gray}\, +\, \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -5 {\color{gray}\, +\, \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 3^2 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 9 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= 4 \end{align*} $$ Binomische Formel anwenden $$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\, +\, } 6x + {\color{red}3}^2 &= 4 &&{\color{gray}| \text{ 1.
Rechentrick Um gemischtquadratische Gleichungen nach $x$ aufzulösen, bedienen wir uns eines Tricks: Wir formen die gemischtquadratische Gleichung in ihre binomische Form $(x + d)^2 = e$ um. Gleichungen der Form $(x + d)^2 = e$ können wir ganz einfach durch Wurzelziehen lösen.
Beispiel $$3x^2+18=15x$$ $$|-15x$$ $$3x^2-15x+18=0$$ $$|:3$$ $$x^2-5x+6=0$$ Diese Form der Gleichung heißt Normalform. Die Gleichung hat einen Summanden mit $$x^2$$ ( quadratisches Glied), einen mit $$x$$ ( lineares Glied) und ein Summand ist eine Zahl ( absolutes Glied). Gleichungen der Form $$x^2 + px + q = 0$$ mit reellen Zahlen p und q sind quadratische Gleichungen in Normalform. Beispiel $$x^2-5x+6=0$$, $$p=-5$$ und $$q=6$$ quadratisches Glied: $$x^2$$ lineares Glied: $$-5x$$ absolutes Glied: $$6$$ Hier tritt das quadratische Glied mit dem Faktor $$1$$ auf. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Methode der quadratischen Ergänzung Die Methode der quadratischen Ergänzung kannst du zur Lösung der quadratischen Gleichungen in Normalform anwenden. Beispiel Löse die Gleichung $$x^2- 6x+5=0$$. Lösungsschritte Bringe das absolute Glied auf die andere Seite. $$x^2-6x+5=0$$ $$|-5$$ $$x^2-6x=-5$$ Welche Zahl musst du ergänzen, damit du bei der Summe $$x^2-6x$$ eine binomische Formel anwenden kannst?