Beispiel: Löse die Gleichungen a) ( x − 2) ( x − 7) = 0 (x-2)(x-7)=0 b) x 2 = 4 x x^2=4x Lösung: zu a) Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also muss x − 2 = 0 x-2=0 oder x + 7 = 0 x+7=0 sein. x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x-2=0 \Rightarrow x=2 x + 7 = 0 ⇒ x = − 7 x+7=0 \Rightarrow x=-7 Die Gleichung ist also erfüllt für x 1 = 2 x_1=2 und x 2 = − 7 x_2 =-7. zu b) Die Gleichung kannst du zu einem Nullprodukt umformen: x 2 = 4 x ∣ − 4 x x 2 − 4 x = 0 x ⋅ ( x − 4) = 0 \def\arraystretch{1. 25} \begin{array}{rcl}x^2&=&4x&|-4x\\x^2-4x&=&0\\x\cdot(x-4)&=&0\end{array} Somit muss x = 0 x=0 oder x − 4 = 0 x-4=0 sein. Quadratische gleichung lösen online store. Die Lösungen der Gleichung sind also x 1 = 0 x_1=0 und x 2 = 4 x_2=4. Gleichungen in Scheitelform Quadratische Gleichungen in der Scheitelform kann man auch mit Hilfe der binomischen Formeln in eine gemischt-quadratische Gleichung umformen und dann wie oben beschrieben lösen. Deutlich einfacher ist hier jedoch die Technik des Rückwärts rechnens: Beispiel: Löse die Gleichung 3 ( x − 1) 2 − 12 = 0 3(x-1)^2-12=0.
Die Lösung der Gleichung ist dann Hast du noch einen Vorfaktor vor x 2 x^2, kannst du die pq-Formel auch anwenden. Teile dafür jedoch die ganze Gleichung zuerst durch den Vorfaktor! Beispiel: Löse die Gleichung 3 x 2 − 6 x − 9 = 0 3x^2-6x-9=0. Lösung: Da vor x 2 x^2 noch ein Faktor 3 3 steht, teile zuerst die gesamte Gleichung durch 3 3. Quadratische Gleichung Lösung? (Schule, Mathematik). 3 x 2 − 6 x − 9 \displaystyle 3x^2-6x-9 = = 0 \displaystyle 0: 3 \displaystyle:3 x 2 − 2 x − 3 \displaystyle x^2-2x-3 = = 0 \displaystyle 0 Wende nun die pq-Formel auf den Term x 2 − 2 x − 3 x^2-2x-3 an. Lies hierfür die Werte p p und q q ab: p = − 2, q = − 3 p=-2, q=-3 ⇒ x 1, 2 = − − 2 2 ± ( − 2 2) 2 − ( − 3) = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 4 = 1 ± 2 \def\arraystretch{1. 25} \begin{array}{rcll}\Rightarrow& x_{1{, }2}&=&-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-3)}\\&&=&1\pm \sqrt{1+3}\\&&=&1\pm \sqrt 4\\&&=&1\pm2\end{array} ⇒ x 1 = − 1 \Rightarrow x_1=-1 und x 2 = 3 x_2=3 Satz von Vieta Der Satz von Vieta ist eine Lösungsmethode, mit der du durch Probieren Nullstellen erraten kannst.
x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{5}{6} Dividieren Sie -13 durch 6. x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2} Dividieren Sie -\frac{13}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat. x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{5}{6}+\frac{169}{144} Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden. x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{289}{144} Addieren Sie \frac{5}{6} zu \frac{169}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme. Wie Erkennt Man Wie Viele Lösungen Eine Gleichung Hat - information online. \left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{289}{144} Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
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