a) b) c) Lösungen Eine stetige Funktion enthält keine Lücken in ihrem Definitionsbereich. Sie muss sich ohne absetzen zeichnen lassen. Beispiel für eine stetige Funktion: Beispiel für eine nicht stetige Funktion: für gilt: Die Funktion ist demnach stetig. Die Funktion ist demnach nicht stetig. Login
Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig [ Bearbeiten] Aufgabe Sei Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante. Es gilt also für alle. Beweise, dass gleichmäßig stetig ist. Wie kommt man auf den Beweis? Wir müssen zeigen, dass es für alle ein gibt, so dass für alle mit gilt. Nach Annahme gilt Damit gilt, reicht es also, dass. Folglich setzen wir. Aufgaben zu stetigkeit online. Beweis Sei beliebig. Wähle. Dann gilt für alle mit: Stetigkeit im Ursprung [ Bearbeiten] Zeige, dass die folgende Funktion im Ursprung stetig ist: To-Do: Lösungsweg schreiben. Insbesondere erklären, warum man wählt. Um die Stetigkeit im Übergang an zu zeigen, verwenden wir die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit. Dazu zeigen wir, dass für alle ein existiert, sodass für alle mit die Ungleichung gilt. Sei. Sei eine reelle Zahl mit. So gilt: Womit wir nun gezeigt haben, dass an stetig ist. Satz von Maximum und Minimum [ Bearbeiten] Aufgabe (Maximum und Minimum einer Funktion) Zeige, dass die Funktion auf ein Maximum, aber kein Minimum besitzt.
5) Nun soll rechnerisch überpüft werden, ob die Funktion f(x) = | x + 1| (Graph siehe Aufgabe 2) an der Stelle xo = - 1 stetig ist. Es existiert ein Funktionswert an der Stelle xo. f(-1) = | -1 + 1| = 0 An der Stelle xo existiert aber kein Grenzwert => Funktion f(x) ist an der Stelle xo = -1 nicht stetig b) Nein
Bestimmen des Funktionswertes Das besondere an dieser Funktion besteht darin, dass die Funktionsgleichung abschnittsweise definiert ist. Jeder Abschnitt besitzt einen eigenen Definitionsbereich. Aufgaben zu stetigkeit restaurant. In diesem Beispiel ist zu beachten, dass die Zahl π / 4 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen wurde. Der Abschnitt (I) y = sin x gilt für alle Argumente, die kleiner sind als π / 4. Der Abschnitt (II) y = cos x gilt für alle Argumente, die größer sind als π / 4. Im Bild der Funktion ist deshalb die Stelle x 0 = π / 4 markiert, um zu verdeutlichen, dass dort kein Funktionswert existiert. Bestimmen des Grenzwertes rechtsseitiges Grenzwert ⇒ Abschnitt (II) f = linksseitiges Grenzwert ⇒ Abschnitt (I) Ergebnis Die Funktion ist nicht stetig.
Weiter gilt für mit: Nun ist für. Stetigkeit (mehrdimensional) | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie. Da außerdem streng monoton fallend ist auf, folgt Mit der strengen Monotonie von folgt Also ist streng monoton steigend und damit auch injektiv. Teilaufgabe 2: Zunächst ist Weiter gilt und daraus folgt Da stetig und ein Intervall ist, folgt aus der Folgerung zum Zwischenwertsatz, dass ebenfalls ein Intervall ist. Da streng monoton steigend ist, und ist, folgt Teilaufgabe 3: Da ein Intervall und bijektiv ist, gilt mit dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass stetig ist.