In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht. Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z. B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z. a oder k) bestimmt. Vorgehensweise: 1. allgemeine Punkte P(x|y) mit bestimmter Eigenschaft, z. Extrem- oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen 2. x-Wert nach Parameter umstellen und in y-Wert einsetzen 3. y-Wert ist die Ortskurve Beispiel Gegeben sei die Funktionsschar $f_a(x) = x^2 – ax, \ a \in \mathbb{R}. $ Bestimme die Ortskurve, auf der alle Extrempunkte der Funktion liegen. Als erstes bestimmen wir die Extrempunkte in Abhängigkeit von a: f'_a(x)=2x-a = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2} Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da $f"_a(x)=2 > 0$ ist. Extrempunkte: einfach erklärt - simpleclub. Alle Tiefpunkte der Funktionsschar liegen bei $T(\frac{a}{2} | -\frac{a^2}{4})$. Um die Ortskurve zu erhalten, müssen wir die x-Koordinate des allgemeinen Tiefpunktes nach dem Parameter umstellen.
Das ist das sogenannte hinreichende Kriterium (auch hinreichende Bedingung). f'(x) = 0 f ′ ( x) = 0 f'(x) = 0 und f''(x) \neq 0 f ′ ′ ( x) ≠ 0 f''(x) \neq 0 Die zweite Ableitung muss ungleich Null sein. Ist dies erfüllt, so liegt ein Extrempunkt bei P\left(x\middle|f(x)\right) P ( x | f ( x)) P\left(x\middle|f(x)\right). Wenn f''(x) <0 f ′ ′ ( x) < 0 f''(x) <0 dann liegt ein Hochpunkt vor. Wenn f''(x) >0 f ′ ′ ( x) > 0 f''(x) >0 dann liegt ein Tiefpunkt vor. Achtung! Eine Extremstelle kann trotzdem vorliegen, obwohl die 2. Ableitung gleich 0 0 0 ist. Dann musst du die Funktion auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen. Extrempunkte mit 2. Ableitung bestimmen Bestimme zur Funktion f(x) = x^3-3x^2 f ( x) = x 3 − 3 x 2 f(x) = x^3-3x^2 die Extrempunkte. Das notwendige Kriterium lautet: Die 1. Ableitung muss 0 sein, damit überhaupt eine Extremstelle vorliegen kann. Extrempunkte funktionsschar bestimmen klasse. f'(x) = 0 f ′ ( x) = 0 f'(x) = 0 Bestimme die 1. Ableitung der Funktion. f'(x) = 3x^2-6x f ′ ( x) = 3 x 2 − 6 x f'(x) = 3x^2-6x Setze jetzt die 1.
Beispielfunktion: f(x) = 0, 5x³ +0, 5x² -5x+4 Extremstellen Als Extremstellen versteht man Hoch- Tief-, Wende- und Sattelpunkte einer Funktion f(x). Die Steigung einer Funktion f(x) in einem bestimmten Punkt wird durch die Ableitung f'(x) angegeben. An Extremstellentellen hat die 1. Ableitung (f'(x)) den Wert 0, d. h. die Ursprungsfunktion hat an diesen Stellen die Steigung (Ableitung, f'(x)) 0. Extrempunkte funktionsschar bestimmen online. Man kann also sagen, dass die Extremstellen von f(x) die Nullstellen der ersten Ableitung sind. Ablauf der Extremstellenbestimmung Achtung- Hier sind Extrem Punkte gesucht, nicht nur einfache x-Werte. Bisher habt ihr nur die x- Werte der beiden Extrempunkte bestimmt. Tiefpunkt / Minimum Tp (1. 52/) Hochpunkt/ Maximum Hp (-2, 19/) Wie berechnet man die y- Werte? Ihr setzt die x- Werte (Nullstellen von f'(x)) nacheinander in f(x) ein. Die Ergebnisse sind dann die y- Werte der Extrempunkte. f(1, 52) = 0, 5* (1, 52)³ +0, 5(1, 52)² -5(1, 52)+4=-0, 69 f(-2, 19) = 0, 5(-2, 19)³ +0, 5(-2, 19)² -5 (-2, 19) +4 =12, 1 Die Extrempunkte( Minima und Maxima) liegen also bei Tp (1, 52/ -0, 69) und Hp (-2, 19/ 12, 1)
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