Lösungsmenge aufschreiben $$ \mathbb{L} = \{\, \} \quad \quad {\colorbox{yellow}{.. gibt es keine Lösung! }} $$ Anmerkung Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen. Herleitung Beispiel 4 Löse die quadratische Gleichung $$ x^2 + px + q = 0 $$ mithilfe der quadratischen Ergänzung. Quadratische Gleichung in Normalform bringen Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor. Absolutglied auf die rechte Seite bringen $$ \begin{align*} x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|\, -q} \\[5px] x^2 + px &= -q \end{align*} $$ Quadratische Ergänzung durchführen Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$. $$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right. Scheitelpunktform pq formel te. } \\[5px] x^2 + px {\color{gray}\, +\, \left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q \end{align*} $$ Binomische Formel anwenden $$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\, +\, } px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \text{ 1.
Der Graph der Funktion mit der Gleichung f(x) = x² heißt Normalparabel. Es handelt sich hierbei um eine Zuordnung, bei der wir der Zahl x ihre Quadratzahl zuordnen, also: Wenn wir diese Werte in ein Koordinatensystem eintragen und die Punkte mit einander verbinden erhalten wir: Wenn wir den Funktionsgraphen betrachten, so stellen wir eine Symmetrie zur y-Achse fest. So werden den negativen x-Werten dieselben y-Werte zugeordnet wie ihren Gegenzahlen. Quadratische Funktion – Definition und Beschreibung — Mathematik-Wissen. Es gilt also f(x) = f(– x). Zum Beispiel ist der y-Wert zum x-Wert 1 gleich 1 (wegen 1² = 1) und der y-Wert zu x = – 1 auch gleich 1, also f(1) = f(– 1) wegen 1² = (– 1)². Anhand des Graphen können wir nicht nur die Symmetrie erkennen, sondern auch die Monotonie (Steigung). Wir können erkennen, dass je negativer die x-Werte sind, desto stärker die Funktion fällt. Die Steigung könnte man sich als Straße vorstellen, auf der wir mit einem Fahrrad unterwegs sind und je weiter wir uns links befinden, desto steiler geht es bergab, wir sagen: Die Funktion fällt monoton.
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Je weiter wir zum Ursprung kommen, desto flacher wird das Land und wir werden mit unserem Fahrrad langsamer. Scheitelpunktform pq formel beispiele. Sobald wir den Nullpunkt passiert haben, steigt die Funktion wieder an, wir sagen: Die Funktion wächst monoton. Wenn wir dort mit unserem Fahrrad unterwegs sind, müssen wir je weiter wir nach rechts kommen, umso stärker in unsere Pedale treten. Der Punkt, an dem wir von bergab zu bergauf wechseln heißt übrigens Scheitelpunkt der quadratischen Funktion.
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