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Schlagwörter: Symmetrie, Funktionen, Graphen, Punktsymmetrie, punktsymmetrisch, Achsensymmetrie, achsensymmetrisch, Achsenspiegelung, Punktspiegelung, gerade Funktionen, ungerade Funktionen Der Begriff der Symmetrie ( altgriechisch "symmetria – Ebenmaß") bezeichnet eine geometrische Eigenschaft. Bei der Betrachtung von Funktionen und ihren Graphen sind die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie eine zentrale Eigenschaft. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen sind Kongruenzabbildungen. Durch eine Geradenspiegelung an der y-Achse wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Punkt und achsensymmetrie den. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur Ordinate (y-Achse), wenn für alle x ∈ DB gilt: f(-x) = f(x) Durch eine Punktspiegelung am Punkt P(0/0) wird die Funktion auf sich selbst abgebildet. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn für alle x ∈ DB gilt: f(-x) = -f(x) Achsen – und Punktsymmetrie für ganzrationale Polynome n-ten Grades GeoGebra-selbstständiges Erarbeiten In der folgenden GeoGebra Animation sollt ihr die Parameter (a, b, c, d, e) so anpassen, dass der Graph der Funktion entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
[Den Beweis über f(-x)=-f(x) brauchen wir gar nicht! ] Die Ausgangsfunktion ist f(x) symmetrisch zu S(2|-3)! Beispiel i. ft(x) = 0, 6t·(6x+x²) Zeigen Sie, dass ft(x) zur Geraden x=-3 symmetrisch ist! Wenn f(x) symmetrisch zu x=-3 ist, können wir f(x) um 3 nach rechts verschieben, dann ist die verscho bene Funktion f*(x) symmetrisch zu x=0 [y-Achse]. f*(x) = f(x–3) = 0, 6t·[ 6(x–3) + (x–3)²] = = 0, 6t·[ 6x–18 + x²–6x+9] = 0, 6t·[ x²–9] Man verschiebt eine Funktion um 3 nach rechts, indem man jedes "x" der Funktion f(x) durch "(x–3)" ersetzt. Die neue, verschobene Funktion hat nur gerade Hochzahlen in x. Sie ist also symmetrisch zur y-Achse. Punkt und achsensymmetrie erkennen. Spaßeshalber können wir noch den richtigen Beweis durchführen: f*(-x) = f*(x) 0, 6t·[(-x)²–9] = 0, 6t·[x²–9] 0, 6t·[x²–9] = 0, 6t·[x²–9] wahre Aussage ⇒ Symmetrie ist bewiesen. Beispiel j. A. 05 Symmetrie von Ableitungen Wenn eine Funktion symmetrisch ist, zeigt sowohl ihre Ableitung, als auch ihre Stammfunktion ebenfalls Symmetrieeigenschaften auf. Symmetrie von Ableitungen: Ist eine Funktion f(x) symmetrisch zum Ursprung, dann ist ihre Ableitung f'(x) symmetrisch zur y-Achse.
(= Beispiel einer Symmetrie zum Ursprung) [A. 03] Symmetrie über Formeln Ist eine Funktion symmetrisch zu irgendeinem Punkt mit den Koordinaten S(a|b), so gilt die Formel: f(a–x)+f(a+x) = 2·b Ist eine Funktion symmetrisch zu irgendeiner senkrechten Gerade mit der Gleichung x=a, so gilt: f(a–x) = f(a+x) [Man setzt a, b und die Funktion f(x) in die Formel ein, löst alle Klammern etc.. auf und erhält zum Schluss eine wahre Aussage. Die Rechnungen sind oft aufwändig. ] [A. 04] Symmetrie über Verschieben Wenn eine Funktion symmetrisch zu irgendeinem Punkt ist, verschiebt man die Funktion so weit nach links/rechts und oben/unten, bis der Symmetriepunkt im Ursprung liegt. Nun kann man für die neue, verschobene Funktion Symmetrie zum Ursprung nachweisen [einfach über f(-x)=-f(x)]. Kurvendiskussion Punkt- und Achsensymmetrie. Wenn eine Funktion symmetrisch zu irgend einer Achse ist, verschiebt man die Funktion so weit nach links/rechts, bis die Symmetrieachse auf der y-Achse liegt. Nun kann man für die neue Funktion Symmetrie zur y-Achse nachweisen [einfach über f(-x)=f(x)].