633 Aufrufe Ich habe folgende lineare Abbildung gegeben: \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}{x-2 y+z} \\ {-4 x+2 y-z}\end{array}\right) \). Nun möchte eine Basis C des Bildraums \( \mathbb{R}^{2}\) finden, sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt \( M_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}}(\Phi)=\left(\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \) besitzt. Hierbei beschreibt B die Basis dreier Vektoren (des \( \mathbb{R}^{3}\)), welche in einer vorherigen Aufgabe berechnet wurde. Lineare Abbildungen - Darstellungsmatrizen - YouTube. B ist folgende: \( B_{\varepsilon_{2}}^{\varepsilon_{3}}(\Phi)=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-2} & {1} \\ {-4} & {2} & {-1}\end{array}\right) \) Problem/Ansatz: Leider weiß ich nicht wie ich dies bestimmen kann. Ein Beispiel würde mir sehr weiterhelfen. Mein Ansatz war folgender: Also im Prinzip so wie ich in der vorherigen Aufgabe die Abbildungsmatrix bestimmt habe, nur nich mit Konkreten Basis-Werten, sondern mit Koordinaten, welche ich mit den jeweiligen Werten aus der Abbildungsmatrix M entnommen habe.
Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt: Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix) TODO Beispiel für Abbildug mit der Standardbasis ergänzen. Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen: Beispiel (Polynome verschiedenen Grades) Seien, der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus und der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus. Sei definiert als die Ableitung eines Polynoms, d. für alle sei. Bei betrachtung der Basen: und. Basis bezüglich Abbildungsmatrix bestimmen | Mathelounge. Somit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und:
Basierend auf einem Artikel in: Seite zurück © Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24. 10. 2021
Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets quadratisch, d. h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein. Abbildungsmatrix bezüglich bass fishing. Beschreibung von affinen Abbildungen und Affinitäten Nach der Wahl einer affinen Punktbasis in beiden affinen Räumen, die durch eine affine Abbildung aufeinander abgebildet werden, kann diese Abbildung durch eine Abbildungsmatrix und eine zusätzliche Verschiebung oder - in homogenen Koordinaten durch eine erweiterte (auch: "homogene") Abbildungsmatrix allein beschrieben werden. Beispiele Orthogonalprojektion Im dreidimensionalen Raum (mit der kanonischen Basis) kann man die eines Vektors auf eine Ursprungsgerade durch folgende Abbildungsmatrix beschreiben: Dabei sind die Koordinaten des normierten Richtungsvektors der Geraden. Wird anstatt auf eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten Richtungsvektoren projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die Orthogonalprojektion auf eine Ursprungsebene folgendermaßen aufstellen: Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.
Bei anderen Basen, bei denen die Komponenten der Basisvektoren nicht zwingend aus Einsen bestehen müssen und auch nicht so "angeordnet" sind wie es bei den Standardbasisvektoren der Fall ist, besteht aber dieser Unterschied. Also hätte ich: Stimmt das? Falls ja, wenn ich diese Matrix mit einem der Basisvektoren - zB (1, 1, 0) multipliziere, erhalte ich also nicht mehr eine Spalte der Matrix selbst, oder? 03. 2012, 23:23 Habe nicht alles nachgerechnet, aber die erste Spalte ist schonmal richtig. Außerdem hast Du das Prinzip doch gut wiedergegeben und daher wohl auch verstanden. Nun ja, wenn Du die -te Spalte der Matrix haben willst, ist es schon richtig mit dem -ten basisvektor zu multiplizieren -- aber auch wieder in der Koordinatendarstellung bezüglich derselben Basis. Wie sieht das hier aus? Anzeige 03. Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. 2012, 23:52 ah so, dann müsste ich einfach die Matrix mit (1, 0, 0) multiplizieren meinst du? (und ich hab dann noch weitere Fragen ^^) 03. 2012, 23:54 Ja. Du kannst Dir leicht überlegen, dass das immer gilt, egal, wie die Basis konkret aussieht.
Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen, wenn die Basen passend gewählt sind, das heißt: die Basis im Urbild von, im Bild von und im Urbild von, und die Basis im Bild von. Man erhält also: Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis bzw. benutzt wird. Dann gilt: Setzt man, so gilt also Die Abbildungsmatrizen sind also ähnlich. Beispiel Wir betrachten zwei Basen des mit wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt. Die Transformation der Koordinaten eines Vektors ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren bezüglich der neuen Basis und deren Gewichtung mit. Abbildungsmatrix bezüglich basis. Um die Matrix der Basistransformation von zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme nach den 9 Unbekannten auflösen. Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle drei Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt: Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man als Lösung des Systems die Transformationsmatrix.
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