Dadurch werden beiden Brüche größer (oder bleiben gleich). Wir rechnen weiter:$$\cdots\le\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$$Damit ist auch die rechte Seite der Ungleichungskette gezeigt. Beantwortet 6 Mai 2020 Tschakabumba 107 k 🚀
(3·|x| - 14)/(x - 3) ≤ 4 Fall 1: x ≤ 0 -3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ - 2/7 Fall 2: 0 ≤ x < 3 3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ -2 → Keine Lösung Fall 3: 3 < x 3·x - 14 ≤ 4·(x - 3) --> x ≥ -2 --> x > 3 Damit komme ich auf die Lösung: x ≤ - 2/7 ∨ x > 3 Beantwortet 22 Jul 2020 von Der_Mathecoach 416 k 🚀 Muss man nicht alle Stellen wo ein x vorkommt betrachten? zum Beispiel wenn als Zähler ein Betrag steht mit x (2|x|)/(x+3) und als Nenner auch ein term mit x würde man dann einmal den Zähler mit 2|x| = 2x und -2(x) angucken und separat den bruch mit x+3 ><= 0 und dann alle Lösungsmengen zusammenrechnen oder wie würde man das machen? Ja. Man muss natürlich Zähler und Nenner betrachten. Daher habe ich hier auch drei Fälle. Fall 1: x ≤ 0 Im Zähler kann man |x| durch -x ersetzen. Der Nenner ist negativ und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen um. Fall 2: 0 ≤ x < 3 Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen. Fall 3: 3 < x Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen. Ungleichungen mit betrag lösen. Der Nenner ist positiv und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen nicht um.
Bemerkung Eine Betragsfunktion für einen Körper ist eine Bewertung dieses Körpers. Ist für alle natürlichen, dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch. Der Betrag für alle (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt. Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt (3') die verschärfte Dreiecksungleichung. Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Ungleichungen mit Betrag und Bruch | Mathelounge. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch. Betrag und Charakteristik [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben die Charakteristik 0. Integritätsbereiche mit einer von 0 verschiedenen Charakteristik (haben Primzahlcharakteristik und) nehmen nur nichtarchimedische Beträge an. Endliche Integritätsbereiche sind endliche Körper mit Primzahlcharakteristik und nehmen nur den trivialen Betrag an. Der Körper der rationalen Zahlen als Primkörper der Charakteristik 0 und seine endlichen Erweiterungen nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.
193 Aufrufe Hallo Forum-Mitglieder, ich möchte wissen wie man die folgende Ungleichung beweisen würde. Beweise für Ungleichungen mit Beträgen | Mathelounge. $$\frac{|x + y|}{1+|x+y|} \leq \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|} + \frac{|y|}{1+|y|} \text{, mit x} \in \mathbb{R}$$ LG, Karni Gefragt 5 Mai 2020 von 2 Antworten Aloha:) $$\frac{|x+y|}{1+|x+y|}=\frac{1+|x+y|-1}{1+|x+y|}=1-\frac{1}{1+|x+y|}\le1-\frac{1}{1+|x|+|y|}=\cdots$$Im letzten Schritt wurde der Nenner durch Anwendung der Dreieckungleichung \(|x+y|\le|x|+|y|\) vergrößert (oder gleich gelassen). Dadurch wurde der Bruch verkleinert (oder gleich gelassen), sodass von der \(1\) weniger (oder gleich viel) subtrahiert wird. Jetzt rechnet man weiter:$$\cdots=\frac{1+|x|+|y|}{1+|x|+|y|}-\frac{1}{1+|x|+|y|}=\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}$$Damit ist die linke Seite der Ungleichungskette gezeigt. Die rechte Seite geht schneller:$$\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}=\frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{|y|}{1+|x|+|y|}=\cdots$$Wir verkleinern beide Nenner durch Weglassen eines positiven Beitrags (oder lassen sie ungeändert).
Das ist aber nicht unbedingt so, denn wenn man weiter äquivalent umformt (u. a. mit Dritter Binomischer Formel), so erhält man. D. h., die Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn a) und oder aber b) und erfüllt ist. Vorteil dieser Betrachtung ist, dass man sich nicht in Fall- und Unterfallunterscheidungen bzgl. der Vorzeichen von und unnötig aufreiben muss. Auf den vorliegenden Fall mit und appliziert: Da ist sowie, und jetzt muss man "nur" noch aus a) und b) seine Schlussfolgerungen ziehen... Aber eine Warnung: Das ganze klappt nur für genau diesen Ungleichungs-Typ. Sobald die Struktur "zerstört" ist, etwa bei, so bringt das ganze nichts mehr. 12. 2021, 19:41 @HAL: Dein hochprofessioneller Ansatz dürfte einen Schüler:in ziemlich überfordern. Rechner für Gleichungen und Ungleichungen • Vereinfachung algebraischer Ausdrücke, Brüche und Funktionen. Interessant ist er nichtsdestoweniger. Mathe-Götter wie dich zu beobachten ist immer wieder faszinierend. 13. 2021, 08:49 Man kann auch ohne die Quadrate begründen, dass man letztlich auf die Ungleichungen bei a) und b) kommt. Im ersten Fall muss gelten, das beinhaltet sowohl als auch, das ist a).
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