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Zum Video: 3. binomische Formel Binomische Formeln hoch 3 Wenn du die binomischen Formeln mit dem Exponenten 3 verstanden hast, kannst du dich auch an höhere Exponenten wagen. Alles zu den binomischen Formeln hoch 3, hoch 4 und hoch 5 erfährst du in unserem eigenen Video. Zum Video: binomische Formel hoch 3 Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathematische Grundlagen
Dabei können manchmal statt Zahlen auch Buchstaben vorkommen. (a + 1)² = a² + 2 · a · 1 + 1² = a² + 2a + 1 (2 + b)² = 2² + 2 · 2 · b + b² = 4 + 4b + b² Herleitung: Binomische Formeln sind dabei nur eine Abkürzung beim Auflösen von Klammern. Du kannst also auch Schritt für Schritt vorgehen und einfach die Rechengesetze anwenden. (a + b)² = (a + b) · (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + a · b + b · a + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² Das kannst du auch im Bild gut erkennen. Das grüne Quadrat mit Seitenlänge a + b kannst du mit dem roten Quadrat der Seitenlänge a, dem blauen Quadrat mit Seitenlänge b und zwei Rechtecken mit Größe a · b genau ausfüllen. direkt ins Video springen Erste binomische Formel Zweite binomische Formel im Video zum Video springen Bei der zweiten binomischen Formel steht zwischen den Einträgen a und b in der Klammer ein Minus. Deshalb nennt man sie manchmal auch Minus-Formel. ( a – b)² = a ² – 2 a b + b ² ( 3 – 1)² = 3 ² – 2 · 3 · 1 + 1 ² Ein Minus kommt mit auf die rechte Seite, aber der letzte Teil wird wieder mit einem Plus dazugerechnet.
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Lautet der Exponent beispielsweise 5, dann hat der Term 6 Teilterme und 5 mal ein "+ " bzw. "-". Im Folgenden wird das ganze für den Exponenten 3 verdeutlicht. Falls der Exponent höher ist, wird die unten beschriebene Vorgehensweise dann auf den jeweiligen Exponenten bezogen. Binomische Formeln anwenden bei einem Exponent = 3 Fall 1 (Erweiterung 1. Binomische Formel): Herleitung: Wir machen aus dem "hoch 3" zunächst ein "hoch 2". Dazu müssen wir den Term umschreiben: Wir multiplizieren (a+b) mit der ersten binomischen Formel (a+b)2 bzw. ausmulitpliziert: a2+2ab+b2. Dann können wir diese beiden Terme miteinander multiplizieren und lösen somit die Klammern auf und erhalten unser Ergebnis. Fall 2 (Erweiterung 2. Binomische Formel): Herleitung: Wir machen auch hier wie oben auch aus dem "hoch 3" zunächst ein "hoch 2". Dazu müssen wir den Term umschreiben: Wir multiplizieren (a-b) mit der zweiten binomischen Formel (a-b)2 bzw. ausmulitpliziert: a2-2ab+b2. Das Wichtigste zu den drei Binomischen Formeln auf einen Blick!
(a + 1) (a – 1) = a² – 1² = a² – 1 (2 + b) (2 – b) = 2² – b² = 4 – b² Binomische Formeln funktionieren also immer für eingesetzte Zahlen und Buchstaben. Auch die dritte binomische Formel erhältst du durch das Auflösen der Klammern auf der linken Seite. (a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a² – a · b + b · a – b² = a² – b² Die geometrische Herleitung sieht bei dieser Formel etwas anders aus. Du startest links beim roten Quadrat mit Seitenlänge a und Fläche a². Davon ziehst du das blaue Quadrat mit Fläche b² ab. Dann zerschneidest du gedanklich die Figur an der schwarzen gestrichelten Linie entlang. Nun kannst du die beiden Teile neu zusammensetzen und bekommst gerade das Rechteck mit dem Flächeninhalt (a + b) · (a – b). 3. Binomische Formel Alle drei der binomischen Formeln ersparen dir also einige Zwischenschritte beim Rechnen. Binomische Formeln sind vor allem dann praktisch, wenn Buchstaben in einer Rechnung vorkommen. Auch zur dritten binomischen Formel gibt es ein extra Video, in dem du nochmal Beispiele und vieles mehr sehen kannst.
Rudolph, das Rentier mit der roten Nase Hoch oben im Norden, wo die Nächte dunkler und länger und der Schnee viel weißer ist als in unseren Breitengraden, sind die Rentiere beheimatet. In jedem Jahr geht der Weihnachtsmann dort auf die Suche nach den stärksten und schnellsten Tieren, um seinen gewaltigen Schlitten durch die Luft zu befördern. In dieser Gegend lebte eine Rentierfamilie mit ihren fünf Kindern.. Das Jüngste hörte auf den Namen Rudolph und war ein besonders lebhaftes und neugieriges Kind, das seine Nase in allerlei Dinge steckte. Tja, und diese Nase hatte es wirklich in sich. Immer, wenn das kleine Rentier-Herz vor Aufregung ein bisschen schneller klopfte, leuchtete sie so rot wie die glühende Sonne kurz vor dem Untergang. Egal, ob er sich freute oder zornig war, Rudolphs Nase glühte in voller Pracht. Seine Eltern und Geschwister hatten ihren Spaß an der roten Nase, aber schon im Rentierkindergarten wurde sie zum Gespött der vierbeinigen Racker. "Das ist der Rudolph mit der roten Nase", riefen sie und tanzten um ihn herum, während sie mit ihren kleinen Hufen auf ihn zeigten.
Rudolph, das Rentier mit der Roten Nase Hoch oben im Norden, wo die Nächte dunkler und länger und der Schnee viel weißer ist als in unseren Breitengraden, sind die Rentiere beheimatet. In jedem Jahr geht der Weihnachtsmann dort auf die Suche nach den stärksten und schnellsten Tieren, um seinen gewaltigen Schlitten durch die Luft zu befördern. In dieser Gegend lebte eine Rentierfamilie mit ihren fünf Kindern. Das Jüngste hörte auf den Namen Rudolph und war ein besonders lebhaftes und neugieriges Kind, das seine Nase in allerlei Dinge steckte. Tja, und diese Nase hatte es wirklich in sich. Immer, wenn das kleine Rentier-Herz vor Aufregung ein bisschen schneller klopfte, leuchtete sie so rot wie die glühende Sonne kurz vor dem Untergang. Egal, ob er sich freute oder zornig war, Rudolphs Nase glühte in voller Pracht. Seine Eltern und Geschwister hatten ihren Spaß an der roten Nase, aber schon im Rentierkindergarten wurde sie zum Gespött der vierbeinigen Racker. "Das ist der Rudolph mit der roten Nase", riefen sie und tanzten um ihn herum, während sie mit ihren kleinen Hufen auf ihn zeigten.
Alles war also bestens und Santa war gerade dabei, abzufliegen, als der Hilfsmotor des Schlittens nicht ansprang und auch die Scheinwerfer versagten! Der Mechaniker hatte schon seinen Winterschlaf angetreten und nun wusste Santa auch nicht mehr, was man jetzt noch tun konnte! Guter Rat war teuer und die Zeit so knapp, dass schon gar nichts mehr zu retten war. Santa sass in seinem Lehnstuhl am Kamin der Weihnachtshöhle am Nordpol, grübelte und war dabei Trübsal zu blasen, als ihm ein Engel erschien. Also genauer gesagt war es Julia, die mit dem Engel im Schlepptau die schwere Tür öffnete... Der Engel sagte: Santa, weisst du was, wenn du irgendetwas finden kannst, das den Schlitten zieht, dann fange ich dir alle Sterne vom Himmelszelt und setze sie auf jede einzelne Tannenspitze, damit sie dir den Weg leuchten! " Hocherfreut umarmte Santa den Engel, der sich merkwürdigerweise in seinen Armen in Massie verwandelte... und begab sich abermals in den Stall, denn nun war ihm eine Idee gekommen!
"Mein Name ist Herbie", sagte sie schüchtern. Und während sie sich so in die Augen sahen, der eine mit einer leuchtend roten Nase, die andere mit rhythmisch wackelnden Ohren, prusteten sie urplötzlich los und lachten bis ihnen die Bäuche weh taten. An diesem Tag schlossen sie Freundschaft schwatzten bis in die Nacht und kehrten erst am frühen Morgen heim. Mit Riesenschritten ging die Zeit auf Weihnachten zu. Herbie und Rudolph trafen sich in dieser Zeit viele Male im Wald. Alle waren mit den Vorbereitungen für das Weihnachtsfest so beschäftigt, dass sie nicht bemerkten, wie sich das Wetter von Tag zu Tag verschlechterte. Am Vorabend des Weihnachtstages übergab die Wetterfee Santa Claus den Wetterbericht. Mit sorgenvoller Miene blickte er zum Himmel und seufzte resigniert: "Wenn ich morgen anspanne, kann ich vom Kutschbock aus noch nicht einmal die Rentiere sehen. Wie soll ich da den Weg zu den Kindern finden? " In dieser Nacht fand Santa Claus keinen Schlaf. Immer wieder grübelte er über einen Ausweg nach.
Die Inside-Story: Wie Rudolph zu seiner roten Nase kam -und andere Geheimnisse entlarvt! von Sarah Sofia Granborg An diesem Weihnachtsfest ging aber auch alles schief! Die ersten schlechten Neuigkeiten waren vom Tüv: der Schlitten war nicht durchgekommen und die Rechnung für den Mechaniker betrug stolze 5976 Monddollar und 75 Sternenstaubcents! Santa hatte verärgert geschnieft und Julia, seine Lieblingselfe (oder manche munkelten auch, dass sie im Grunde eigentlich Mrs. Claus war... ) -Also, wo war ich stehen geblieben? Ach ja, Julia, die gute alte Seele! Nun- zunächst hatte sie ganz betrübt dagesessen und geschluchzt, dass nun das Weihnachtsfest wohl so gut wie erledigt sei, denn woher sollte das viele Geld so schnell und so kurz vor Weihnachten herkommen und es war fast genauso viel wie man für die Geschenke brauchte... aber dann kam ihr eine Idee! Ich werde alle Süssigkeiten für die Kinder selber machen! " rief sie freudestrahlend und ihre roten Bäckchen glänzten wieder mit ihren Augen um die Wette.