Als Nächstes zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß, dass eine auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion Extremwerte annimmt. Damit beweisen wir insbesondere auch die obige Vermutung, dass eine stetige Funktion auf [ 0, 1] einen beschränkten Wertebereich hat. Satz (Extremwertsatz von Weierstraß, Annahme von Maximum und Minimum) Sei f: [ a, b] → ℝ stetig. Dann gibt es p, q ∈ [ a, b] mit (a) f (p) ist das Maximum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (x) ≤ f (p) für alle x ∈ [ a, b], (b) f (q) ist das Minimum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (q) ≤ f (x) für alle x ∈ [ a, b]. Beweis Wir finden ein p wie in (a). Die Minimumsbehauptung wird analog gezeigt. Sei Y = { f (x) | x ∈ [ a, b]} der Wertebereich von f. Dann gibt es (Beweis als Übung) eine monoton steigende Folge (y n) n ∈ ℕ in Y mit: (+) Für alle y ∈ Y existiert ein n mit y ≤ y n. Wir definieren eine Folge (x n) n ∈ ℕ in [ a, b] durch x n = "ein x ∈ [ a, b] mit f (x) = y n " für alle n. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine gegen ein p ∈ [ a, b] konvergente Teilfolge (x i n) n ∈ ℕ von (x n) n ∈ ℕ.
Da f stetig ist, gilt f (p) = f (lim n x i n) = lim n f (x i n) = lim n y i n. Aus (+) und der Monotonie der Folge (y n) n ∈ ℕ folgt, dass f (x) ≤ f (p) für alle x ∈ [ a, b]. Damit ist p wie gewünscht. Das Maximum und das Minimum können mehrfach angenommen werden. Die Nullfunktion auf [ a, b] nimmt überall ihr Minimum und ihr Maximum an. Die stetigen Funktionen f:] 0, 1] → ℝ mit f (x) = 1/x für alle x und g: ℝ → ℝ mit g(x) = x für alle x illustrieren, dass der Satz von Weierstraß für viele andere Definitionsbereiche nicht allgemein gilt. Unsere Ergebnisse über das Werteverhalten stetiger Funktionen können wir elegant so zusammenfassen: Satz (Wertebereich stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen) Der Wertebereich einer stetigen Funktion, die auf einem kompakten Intervall definiert ist, ist ein kompaktes Intervall. Die stetige Funktion f: [ a, b] → ℝ besitzt einen größten und einen kleinsten Funktionswert f (p) = max x ∈ [ a, b] f (x) bzw. f (q) = min x ∈ [ a, b] f (x). Der Wertebereich von f ist nach dem Zwischenwertsatz das Intervall [ f [ q], f [ p]].
Eine auf [a, b] definierte stetige Funktion, die ihr Maximum und Minimum annimmt Der Satz vom Minimum und Maximum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zugerechnet wird. Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar. Satz vom Minimum und Maximum [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Satz lässt sich in mehreren Fassungen formulieren: (Ia) Jede auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion ist dort beschränkt und nimmt dort ein Maximum und ein Minimum an. Oder ausführlich: (Ib) Ist eine stetige Funktion, so gibt es stets Argumente derart, dass für jedes andere Argument die Ungleichung erfüllt ist. Oder kurz und unter Einbeziehung des Zwischenwertsatzes: (II) Für jede stetige Funktion existieren Argumente mit.
C. Behauptung: nimmt in [a, b] ein Maximum an. Aus geeignet gewählten Elementen von lässt sich eine Folge erstellen, die gegen das Supremum von konvergiert. [2] Jede Teilfolge von konvergiert ebenfalls gegen. Mit A. gibt es eine Teilfolge von, die gegen konvergiert. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts ist das Maximum der Behauptung. D. Behauptung: ist in [a, b] nach unten beschränkt und nimmt dort ein Minimum an. Zum Beweis ist in B. und C. "oben" durch "unten", "steigend" durch "fallend", "Supremum" durch "Infimum" und "Maximum" durch "Minimum" zu ersetzen. [3] Bemerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Satz ist ein reiner Existenzsatz. Er ist nicht konstruktiv. Das heißt: Er liefert kein Verfahren, die Extremalstellen tatsächlich zu bestimmen. Bei differenzierbaren Funktionen können die Methoden der Kurvendiskussion genutzt werden, um die Extrema einer Funktion zu bestimmen. Der Satz vom Minimum und Maximum ist in bestimmtem Sinne charakteristisch für. Seine uneingeschränkte Gültigkeit ist gleichwertig mit dem Supremumsaxiom.
Im Schritt von k zu k+1 enthält das Intervall unendlich viele Folgeglieder. Zuerst wird das Intervall halbiert in und mit dem Mittelpunkt. Es können nicht in beiden Teilintervallen nur endlich viele Folgeglieder liegen. Es kann also immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgenglieder ausgewählt werden, diese Hälfte wird mit bezeichnet. Schließlich wird das nächste Glied der Teilfolge als das erste Element bestimmt, das in liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements,. Der Rekursionsschritt wird für alle durchgeführt. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner,, die Länge konvergiert gegen Null, wie es von einer Intervallschachtelung verlangt wird. Nach der Konstruktion ist der gemeinsame Punkt aller Intervalle, auch schon der Grenzwert der Teilfolge,, und damit ein Häufungspunkt der vorgegebenen beschränkten Folge. Um den größten Häufungspunkt zu bestimmen, muss man, wann immer möglich, das obere Teilintervall wählen, für den kleinsten Häufungspunkt das untere Teilintervall.
Der Fall n=1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für ist das Weierstraß-Polynom notwendig das normierte Monom und für jedes erhält man die einfache Beziehung. Daher ist obiger Satz erst für nicht-trivial. Variante für reguläre Potenzreihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine Potenzreihe heißt in regulär von der Ordnung, falls die holomorphe Funktion eine Nullstelle der Ordnung hat. Für ein Weierstraß-Polynome des Grades gilt, das heißt Weierstraß-Polynome haben diese Regularitätseigenschaft. Daher ist folgende Variante des weierstraßschen Divisionssatzes allgemeiner: Es sei in regulär von der Ordnung. Dann hat jedes eine eindeutige Darstellung als Das folgt leicht aus der oben gegebenen Version, denn nach dem weierstraßschen Vorbereitungssatz kann man mit einer Einheit und einem Weierstraß-Polynom schreiben. Nach obiger Version des Divisionssatzes gibt es eindeutig bestimmte,,, so dass. Dann ist eine Divisionszerlegung der gewünschten Art. Beziehung zum Vorbereitungssatz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der zweiten Version, in die ja der Vorbereitungssatz eingeflossen ist, kann man letzteren leicht wieder zurückgewinnen.
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