Der Mathematische Monatskalender: Thales von Milet (624–547 v. Chr. ): Das Multitalent Über Thales von Milet ist nur wenig bekannt. Man findet im Lexikon über ihn die Information, dass er aus einer wohlhabenden Familie aus Milet (Kleinasien, heute Türkei) stammte und als Philosoph, Mathematiker, Astronom, Ingenieur und Politiker tätig war. © Besjunior / Getty Images / iStock (Ausschnitt) Bei seinen Reisen im Mittelmeerraum erwarb er umfangreiche astronomische Kenntnisse, mithilfe derer er im Jahr 585 v. Chr. eine Sonnenfinsternis vorhersagte, was sein Ansehen als »Weiser« erhöhte. Die Sonnenfinsternis beendete übrigens einen Krieg zwischen Medern und Lydern, die in dem Naturereignis noch den Zorn der Götter sahen. Als Philosoph war Thales von Milet vor allem deshalb so bedeutsam, weil er darum bemüht war, die Welt nicht durch Mythen zu erklären, sondern rational, das heißt mithilfe natürlicher Ursachen. Höhe im gleichschenkliges dreieck 10. Auch wenn sich beispielsweise seine Erklärung der regelmäßigen Nilüberschwemmungen als falsch erwies (»Winde vom Mittelmeer stauen das Nilwasser«), ging er jedoch im Unterschied zu den Ägyptern nicht von einem göttlichen Eingriff aus, sondern suchte eine natürliche Erklärung.
Der Beweis von (6) verwendet die Sätze (3) und (4). Es gilt nämlich: \(180° = \alpha_1 + \alpha_4 + (\alpha_3+\alpha_2) = \alpha_2 + \alpha_3 + (\alpha_3+\alpha_2)\) \( = 2 \cdot (\alpha_2+\alpha_3)\), also folgt: \( \alpha_2 + \alpha_3 = 90°\) Der Beweis der Umkehrung kann »dynamisch« erfolgen: Man überlege die Konsequenzen bezüglich der Summe \(\alpha_2+\alpha_3, \) wenn der Punkt C nicht auf der Kreislinie liegt, also die Dreiecke AMC und MBC nicht gleichschenklig sind. Der »Satz von Thales« ist Spezialfall eines allgemeineren mathematischen Satzes: Der so genannte Peripheriewinkelsatz (Umfangswinkelsatz) besagt, dass alle Peripheriewinkel über einer beliebigen Sehne gleich groß sind. Der Beweis des Satzes erfolgt so, dass man zeigt, dass jeder Peripheriewinkel halb so groß ist wie der (eine) Zentriwinkel am Mittelpunkt des Kreises. Es wird berichtet, dass Thales mithilfe geometrischer Methoden die Höhe der Pyramiden in Ägypten bestimmt hat. Pythagoras gleichschenkliges Dreieck. Er habe dazu den Zeitpunkt abgewartet, bis die Länge seines eigenen Schattens so groß war wie die eigene Körperlänge (das heißt, die Sonnenstrahlen trafen unter einem Winkel von 45° auf); er übertrug dann diese Erkenntnis auf das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck an der Pyramide.
Der Mathematische Monatskalender: Brahmagupta (598–670) © Andreas Strick (Ausschnitt) Zu Beginn des 9. Jahrhunderts führte Al-Khwarizmi das dezimale Stellenwertsystem unter Verwendung der indischen Ziffern in die islamische Welt ein. Dreieck Höhe? (Schule, Mathe). In seinem Werk Al Kitāb al-muhtasar fi hisāb al-ğabr w-al-muqābala gab er für die Lösung quadratischer Gleichungen unterschiedliche Verfahren an, da er als Koeffizienten nur positive Zahlen zuließ: \(ax^2 + bx = c\), \(ax^2 + c= bx\) beziehungsweise \(ax^2= bx +c\). Dies war ein für die Entwicklung der Mathematik folgenreicher "Rückschritt", denn bereits 200 Jahre zuvor hatte der indische Mathematiker Brahmagupta eine Lösungsformel für Gleichungen des Typs \(ax^2+bx=c\) mit beliebigen Koeffizienten angegeben: \[x=\frac{\sqrt{b^2+4ac}-b}{2a}\] Brahmagupta wird im Jahr 598 in Bhinmal geboren, einer Stadt im Nordwesten Indiens (heute: Bundesstaat Rajasthan). Bereits im Alter von 30 Jahren verfasst er ein Werk, das unter dem Namen Brāhmasphutasiddhānta (Vervollkommnung der Lehre Brahmas, siddhānta = Abhandlung) überliefert ist.
Im Falle von \(d = 0\) handelt es sich um die bereits von Heron hergeleitete Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Daher wird die oben angegebene Formel auch als Brahmaguptas Verallgemeinerung der Heron'schen Formel bezeichnet. Brahmagupta gibt keine Einschränkung für die Gültigkeit der Formel an; sie gilt aber nicht für beliebige Vierecke, sondern nur für Sehnenvierecke. Höhe im gleichschenkligen dreieck berechnen. Da sich jedoch die weiteren Ausführungen des Kapitels auf Vierecke beziehen, deren Eckpunkte auf einem Kreis liegen, wird vermutet, dass Brahmagupta nur solche Vierecke meint. Bemerkenswert sind auch die Formeln, mit denen Streckenlängen in Dreiecken und in symmetrischen Trapezen berechnet werden können: In einem beliebigen Dreieck gilt für die Höhe \(h_c\) sowie die durch die Höhe festgelegten Abschnitte \(c_1\) und \(c_2\) der Seite \(c\) (und analog für die anderen Höhen und Seiten im Dreieck): \[c_1=\frac{1}{2}\cdot \left( c+ \frac{b^2-a^2}{c}\right) \quad; c_2=\frac{1}{2}\cdot \left( c- \frac{b^2-a^2}{c}\right)\] sowie \[h_c = \sqrt{a^2-c_2^2}=\sqrt{b^2-c_1^2}.
Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich. Ein Dreieck ist durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt. Der Peripheriewinkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel (Satz des Thales). Proklos gibt im 5. Jahrhundert n. Chr., also 1000 Jahre nach Thales, dessen Idee zum Beweis von Satz (1) mit folgenden Worten wieder: »Denke dir den Durchmesser gezogen und die eine Kreishälfte auf die andere gelegt. Ist sie nicht gleich, so wird sie entweder innerhalb oder außerhalb zu liegen kommen. In beiden Fällen wird sich die Folgerung ergeben, dass die kürzere Gerade gleich der längeren ist; denn alle Linien vom Mittelpunkt zur Kreislinie sind einander gleich. Eigenschaften von Dreiecken - bettermarks. Dies ist aber unmöglich. « Dies ist einer der ersten indirekten Beweise in der Geschichte der Mathematik! Satz (2) wird von Euklid wie folgt bewiesen: Es gilt \(\alpha_1 + \alpha_2 = 180°\) und \(\alpha_2 + \alpha_3 = 180°\), also \( \alpha_1 + \alpha_2 = \alpha_2 + \alpha_3\), das heißt, \( \alpha_1 = \alpha_3\). Satz (6) gilt auch umfassender: Einerseits entsteht an der Kreislinie immer ein rechter Winkel, wenn man über einer Strecke einen Halbkreis schlägt, zum anderen gilt aber auch die Umkehrung des Satzes, die besagt, dass der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks auch gleichzeitig Mittelpunkt der Hypotenuse dieses Dreiecks ist – oder anders ausgedrückt: Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus man eine gegebene Strecke unter einem rechten Winkel sieht, ist der (Halb-) Kreis über dieser Strecke.
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