Oder: Hat das Dreieck bei einen rechten Winkel, so liegt auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser. Beweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Euklid leitet den Satz des Thales im dritten Band seiner Elemente mit Hilfe folgender Sätze, die ebenfalls Thales zugeschrieben werden und im ersten Band enthalten sind, her: [2] In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. [3] Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°. ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit als Kreisdurchmesser und dem Radius. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen, und sind also gleich dem Radius. Die Strecke teilt das Dreieck in zwei Dreiecke und auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite bzw., sind daher jeweils gleich ( beziehungsweise in der Abbildung). Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°: Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich.
Damit ist gezeigt, dass der Winkel mit Scheitel ein rechter Winkel ist. Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich auf die Aussage zurückführen, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren. Beweis mit Vervollständigung zum Rechteck [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wird der Punkt am Durchmesser und anschließend an der Mittelsenkrechten von gespiegelt, dann liegt der Bildpunkt wegen Symmetrie auf dem unteren Halbkreis über der Seite. Das ist eine Punktspiegelung am Kreismittelpunkt. Daher sind die Seiten und und sowie und parallel und das Viereck ist ein Parallelogramm. Weil die Diagonalen und Durchmesser des Kreises und daher gleich lang sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und der Winkel bei ein rechter Winkel. Beweis mit kartesischen Koordinaten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Kreismittelpunkt sei der Koordinatenursprung. Sind der der Radius und die Punkte, und mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras.
Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B. I. -Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. György Hajós: Einführung in die Geometrie. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a. ) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg. ): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch). Elementarer Beweis Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (deutsch) (PDF; 88 kB) Walter Fendt: Die heronische Formel für die Dreiecksfläche (PDF; 82 kB) – Beweis und Folgerungen Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Ausführlicher Beweis siehe auch Wikibooks-Beweisarchiv.
Wegen und gilt im Dreieck die Gleichung. Aus der Umkehrung des Satz des Pythagoras folgt, dass das Dreieck im Punkt rechtwinklig ist. Mit dem Satz des Pythagoras kann auch gezeigt werden, dass das Skalarprodukt der Vektoren und gleich Null ist: Es ist und. = =, woraus folgt, dass der Kosinus des Winkels im Punkt C gleich Null ist und somit das Dreieck ABC einen Rechten Winkel in C hat. Trigonometrischer Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sind der Winkel, der der Radius und die Punkte, mit kartesischen Koordinaten gegeben, dann hat der Punkt die Koordinaten. Die Seite hat die Steigung und die Seite hat die Steigung. Wegen ist das Produkt der Steigungen gleich. Daraus folgt, dass die Seiten und zueinander orthogonal sind und einen rechten Winkel bilden. Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv. Anwendungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Konstruktion einer Kreistangente [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine wichtige Anwendung des Satzes von Thales ist u. a. die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt.
Gegeben sei der Radius vom Kreis mit seinem Mittelpunkt sowie der Abstand des Punktes von. Vom Punkt wissen wir nur, dass er auf der Kreislinie, irgendwo im ersten Viertel vom Kreis, liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke einzeichnen. Da die obere durch verlaufende Tangente den Kreis genau im Punkt berührt, muss das Dreieck einen rechten Winkel am Punkt haben ( Grundeigenschaft der Kreistangente), oder anders formuliert: Die Strecke muss senkrecht auf der Tangente stehen. Um ein Dreieck zu finden, das auch rechtwinklig ist, ermitteln wir von der Strecke den Mittelpunkt mithilfe der Mittelsenkrechten, zeichnen einen Kreis mit dem Radius um den Mittelpunkt und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck. Der Berührpunkt kann deshalb nur der Schnittpunkt des Kreises mit dem hellgrauen Kreis sein.
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