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Level 3 (bis zum Physik B. Sc. ) Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten. Hier muss das asymptotische Wachstumsverhalten verschiedener Funktionen untersucht werden, die beispielsweise die Laufzeit eines Algorithmus beschreiben könnten. Welche der folgenden Aussagen ist wahr und welche falsch? Verschiedenes Wachstumsverhalten \( 42n + 8 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n) \) \( 3^n ~\stackrel{? O-Notation (Landau-Symbol) - Aufgabe mit Lösung. }{\in}~ 2^{\mathcal{O}(n)} \) \( 5n^3 ~\stackrel{? }{\in}~ 2^{\mathcal{O}(n)} \) \( n \, \log_2 (n) ~~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^2) \) \( n^4 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^3 \, \log_2 (n)) \) \( 6\, n^4 + 7n^3 + 18 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^5) \) \(n \, \log_2(n) + n^2 \, \sqrt{n} ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^4) \) Lösungstipps Benutze die Definition des O-Symbols: \[ \mathcal{O}(f) ~=~ \{~g ~|~ \exists \, c_1, c_2 > 0, \forall n \in \mathbb{N}: g(n) \leq c_1 \, f(n) + c_2~\} \] und betrachte die jeweiligen Ungleichungen: \[ g(n) ~\leq~ c_1 \, f(n) + c_2 \] Lösungen Lösung für (a) Die Aussage \( 42n + 8 ~\in~ \mathcal{O}(n) \) ist wahr, denn mit \( g(n) = 42n \) und \(f(n) = n \) folgt nach der Definition des O-Symbols (siehe Hinweis): 1 \[ 42n + 8 ~\leq~ c_1 \, n + c_2 \] mit \(c_1 ~\geq~ 42, c_2 ~\geq~ 8\).
}{\leq}~ c_1 \, n + \frac{c_2}{n} \] Gleichung 9 ist erfüllt, falls folgende Gleichung erfüllt ist (denn \(\frac{c_2}{n} \geq 0 \)): 10 \[ \log_2(n) ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n \] 11 \[ n ~\stackrel{? }{\leq}~ 2^{c_1 \, n} \] Da 11 erfüllt ist, ist \( n\, \log_2(n) \in \mathcal{O}(n^2) \) wahr. Terme übungen mit lösungen en. Lösung für (e) Mit \( g(n) = n^4 \) und \(f(n) = n^3\, \log_2(n) \) folgt nach der Definition des O-Symbols: 12 \[ n^4 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n^3\, \log_2(n) + c_2 \] Teile 12 auf beiden Seiten durch \(n^4\): 13 \[ 1 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, \frac{1}{n}\, \log_2(n) + \frac{c_2}{n^4} \] Für große \(n\) geht \(c_2/n^4\) gegen Null und kann bei großen \(n\) vernachlässigt werden: 14 \[ 1 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, \frac{1}{n}\, \log_2(n) \] Rechne auf beiden Seiten \(2^x\): 15 \[ 2 ~\stackrel{? }{\leq}~ 2^{\frac{c_1 \, \log_2(n)}{n}} \] 16 \[ 2 ~\stackrel{? }{\leq}~ \left(2^{\log_2(n)}\right)^{\frac{c_1}{n}} \] 17 \[ 2 ~\not\leq~ n^{\frac{c_1}{n}} \] Ungleichung 17 ist für große \(n\) nicht erfüllt, denn der Exponent auf der rechten Seite geht gegen 0.