Chinesischer Restsatz ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen x ≡ a 1 m o d m 1 x ≡ a 2 m o d m 2 ⋮ x ≡ a n m o d m n \array{ {x \equiv {a_1} {\mod m_1}} \\{x \equiv {a_2} {\mod m_2}}\\ {\, \vdots \, \, } \\{x \equiv {a_n} { \mod m_n}}} für die alle x x bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung x x existiert, dann sind mit M: = kgV ( m 1, m 2, m 3, …, m n) M:= \kgV(m_1, m_2, m_3, \ldots, m_n) die Zahlen x + k M x + kM ( k ∈ Z) (k \in \mathbb{Z}) genau alle Lösungen. Chinesischer Restsatz und RSA - Wikimho. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt. Teilerfremde Moduln Die Originalform des Chinesischen Restsatzes aus einem Buch des chinesischen Mathematikers Ch'in Chiu-Shao aus dem Jahr 1247 ist eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind. Sie lautet: Seien m 1, …, m n m_1, \ldots, m_n paarweise teilerfremde ganze Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen a 1, …, a n a_1, \ldots, a_n eine ganze Zahl x x, die die folgende simultane Kongruenz erfüllt: x ≡ a i m o d m i x \equiv a_i \mod m_i für i = 1, …, n i = 1, \ldots, n Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo M: = m 1 m 2 m 3 … m n M:= m_1 m_2 m_3 \ldots m_n.
Eine mgliche Implementierung in der funktionalen Programmiersprache Haskell ist im Folgenden angegeben. Die Parameter der Funktion sind wiederum eine Liste nn von Moduln und eine Liste rr von zugehrigen Resten. Bestehen diese Listen nur aus einem Element n bzw. einem Element r, so wird ( n, r) zurckgegeben. Ansonsten wird rekursiv nach dem oben angegebenen Verfahren gerechnet. chineseRemainder:: [ Integer] -> [ Integer] -> ( Integer, Integer) chineseRemainder [n][r] = (n, r) chineseRemainder nn rr = (m*n, x) where k = length nn ` div ` 2 (m, a) = chineseRemainder ( take k nn) ( take k rr) (n, b) = chineseRemainder ( drop k nn) ( drop k rr) (g, u, v) = extgcd m n x = (b-a) * u ` mod ` n * m + a Die Funktion extgcd fhrt die Berechnung des erweiterten euklidischen Algorithmus aus. Auf der Demo Stellen wir uns in Zehnerreihen auf, ist einer zu wenig. Stellen wir uns in Neunerreihen auf, ist ebenfalls einer zu wenig. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. So geht es weiter bis zu Zweierreihen, wo auch einer fehlt. Wieviele sind wir?
Sie lautet: Seien paarweise teilerfremde natürliche Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen eine ganze Zahl, die die folgende simultane Kongruenz erfüllt: für Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo. Das Produkt stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem überein. Finden einer Lösung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine Lösung kann wie folgt ermittelt werden: Für jedes sind die Zahlen und teilerfremd, also kann man z. B. Chinesischer restsatz rechner. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei ganze Zahlen und finden, so dass. Setze, dann gilt. Die Zahl ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gesucht sei eine ganze Zahl mit der Eigenschaft Hier ist. Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man, also, also, also Eine Lösung ist dann. Wegen sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60. Allgemeiner Fall [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung.
Nun, die Idee hinter der CRT-Optimierung ist, dass wir die Nachricht $M$ in zwei Hälften aufteilen können, wenn wir die Faktorisierung des Moduls $N$ kennen (was wir möglicherweise, wenn wir den privaten Schlüssel haben), dann können wir die Nachricht $M$ in zwei Hälften aufteilen (ein Modulo $ p$ und ein Modulo $q$), berechne jedes Modulo separat und kombiniere sie dann neu. Das heißt, wir berechnen: $m_1 = (M^d \bmod N) \bmod p = ((M \bmod p)^{d \bmod p-1}) \bmod p$ $m_2 = (M^d \bmod N) \bmod q = ((M \bmod q)^{d \bmod q-1}) \bmod q$ (Beachten Sie, dass die Exponenten modulo $p-1$ und $q-1$ reduziert sind; wir können dies tun, weil $p$ und $q$ Primzahlen sind (und Fermats kleiner Satz); dies ist die Quelle eines guten Teils von die Beschleunigung). Dann kombinieren wir sie neu; das heißt, wir finden eine Zahl $m$, so dass: $m \equiv (M^d \bmod N) \mod p$ $m \equiv (M^d \bmod N) \mod q$ Aufgrund des chinesischen Restsatzes (und weil $p$ und $q$ relativ prim sind) können wir sofort Folgendes ableiten: $m \equiv (M^d \bmod N) \mod pq$ Genau das wollten wir berechnen.
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