200–201 Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel Landesbildungsserver BW: Verfahren der linearen Substitution mit ausführlichem Beispiel und Übungen/Lösungen Video: Substitutionsregel. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/9911. Video: Integration durch Substitution, Fingerübung. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/10142. Video: drei Wege für Integration durch Substitution. 5446/10144. Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. Aufgaben integration durch substitution chart. 5446/9987. Video: Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. 5446/9988.
Zum Beispiel gilt, da und. Logarithmische Integration [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:. Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit. da die Ableitung hat. Eulersche Substitution [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs und elementar integrieren. Beispiel: Durch die Substitution also,, ergibt sich. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Partielle Integration für eine weitere wichtige Regel zur Berechnung von Integralen, Weierstraß-Substitution für bestimmte Funktionen, die trigonometrische Funktionen enthalten. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Aufgaben integration durch substitution formula. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464 Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S.
Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn \displaystyle x von 0 bis 2 läuft, läuft \displaystyle u=u(x) von \displaystyle u(0) = e^0=1 bis \displaystyle u(2)=e^2. \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\, e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\, \ln |1+ u |\, \Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\, \mbox{. } Beispiel 5 Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\, \cos x \, dx. Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\, dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\, \cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\, du = \Bigl[\, \tfrac{1}{4}u^4\, \Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\, \mbox{. Integration durch Substitution Lösungen. } Das linke Bild zeigt die Funktion sin³ x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u ³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall.
Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\, \mbox{. Integration durch Substitution ⇒ einfach erklärt!. } Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x). Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x). Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen. \displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert.
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