Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen. Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt. Aussage der Substitutionsregel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sei ein reelles Intervall, eine stetige Funktion und stetig differenzierbar. Dann ist Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sei eine Stammfunktion von. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel: Anwendung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wir betrachten: Das Ziel ist es, den Teilterm des Integranden zur Integrationsvariable zu vereinfachen.
Integration durch Substitution Definition Die Integration durch Substitution dient dazu, einen Term, der zu integrieren ist, zu vereinfachen. Die Vorgehensweise soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden (das allerdings auch anders – ohne Integration durch Substitution – gelöst werden könnte). Beispiel Das Integral $\int_0^1 (2x + 1)^2 dx$ soll in den Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden. Nun kann man (2x + 1) durch u ersetzen ( Substitution). Da (2x + 1) ein linearer Term ist (grafisch eine Gerade), sagt man auch lineare Substitution. u ist also (2x + 1) und die 1. Ableitung u' ist 2. Die erste Ableitung u' kann man auch als du/dx schreiben, somit ist du/dx = 2 bzw. dx = 1/2 du. Zum einen wird jetzt das Integral neu geschrieben: $$\int (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int u^2 du $$ Zum anderen müssen die Integralgrenzen neu berechnet werden, indem die Funktionswerte für u für die alten Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden: u (0) = 2 × 0 + 1 = 1. u (1) = 2 × 1 + 1 = 3. Das zu berechnende Integral ist somit: $$\int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du$$ Die Stammfunktion (die Funktion, die abgeleitet u 2 ergibt) dazu ist 1/3 u 3 + C (dabei ist C die Konstante, die beim Ableiten wegfällt).
•Die Integration durch Substitution ist eine Methode zur Berechnung von Stammfunktion und Integralen. •Integration durch Substitution Diese Integrationsmethode beruht auf der Kettenregel der Differentialrechnung. Voraussetzungen Steht in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (evtl. sogar multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion), kann Substitution zur Vereinfachung beitragen. Formel dabei ist u= g(x); du= g`(x)dx Die Substitutionsregeln kann immer dann angewendet werden, wenn man beim Ableiten die Kettenregel verwenden würde. Ziel ist es, ein bestimmtes Integral über eine Standardfunktion zu erhalten, das nach der gängigen Methode berechnet wird: Stammfunktion finden – Integrationsgrenzen einsetzen – Werte voneinander abziehen. Diese Regel bzw Formel ist in folgender Situation anwendbar: • Der Integrand muss das Produkt zweier Funktionen sein. • Von einem Faktor (g 0 (x)) muss man die Stammfunktion g(x) kennen Bei der Integration durch Substitution wird die Integrationsformel von links nach rechts gelesen.
Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\, \mbox{. } Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x). Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x). Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen. \displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert.
Entweder substituiert man \displaystyle u = u(x), berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden. Beispiel 4 Berechne das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx. Methode 1 Wir substituieren \displaystyle u=e^x, und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx = u \, dx bzw \displaystyle dx = \frac{1}{u} \, du. Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable \displaystyle u \displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| Jetzt schreiben wir wieder \displaystyle u(x) statt \displaystyle u und setzen die Integrationsgrenzen ein. \displaystyle \Bigl[\, \ln |1+ u(x) |\, \Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\, \ln (1+ e^x)\, \Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2} Methode 2 Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx.
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