20. Mai 2011 Nachdem ich letztens so einen Klugscheißerartikel geschrieben habe und eigentlich dachte, die Kettenregel einigermaßen verstanden zu haben, hat mich seit gestern Nachmittag ein besonders schwerer Fall verfolgt. Ich habe mir bei Lecturio einige Übungsaufgaben zu den Ableitungsregeln angeschaut und bin dann bei der vorletzten Aufgabe bis gerade eben hängen geblieben. Es ist wie so oft: Zuerst werden viele mehr oder weniger einfache Beispiele durchgerechnet, wenn es dann aber darauf ankommt, selbst Hand anzulegen und Aufgaben zur Kettenregel zu lösen, wird man schnell wieder auf den Boden der Tatsachen zurückgeholt. Kettenregel einfach erklärt - Studimup.de. Bei Lecturio sind die Aufgaben, die vorgerechnet werden alle ziemlich gut nachzuvollziehen, da man dort wirklich Schritt für Schritt vorgeht und den Lösungsweg gut versteht. So war es auch bei der vorletzten Aufgabe zur Kettenregel. Diese lautete: Leiten Sie folgende Funktion nach x ab: Diese Funktion lässt sich sowohl mit der Quotientenregel, als auch mit der Kettenregel lösen.
Die Beispiele umfassen nur rationale und trigonometrische Funktionen, da die Kettenregel meist vor der Einführung weiterer Funktionsklassen behandelt wird. Nicht lineare Verkettungen sind in Hessen zwar nur noch im Leistungskurs Pflicht, werden aber weiterhin auch in Grundkursen noch oft behandelt. Meiner Erfahrung nach verstehen und erkennen Schüler die Regel besser, wenn sie die allgemeine Kettenregel lernen, so dass das Hinausgehen über den Pflichtstoff hier empfehlenswert ist. Wann braucht man die Kettenregel? Die Kettenregel wird immer dann benötigt, wenn man es nicht mehr nur mit den "Grundfunktionen" $f(x)=a\cdot x^{n}$, $f(x)=\sin(x)$, $f(x)=\cos(x)$ oder später $f(x)=e^{x}$ zu tun hat, sondern wenn statt des einzelnen $x$ ein erweiterter Ausdruck steht. Die Kettenregel zum Ableiten ⇒ verständliche Erklärung. Schon ein einfaches Minus stellt in diesem Sinne eine Erweiterung dar, beispielsweise bei $f(x)=\sin(-x)$. Kettenregel bei linearer Verkettung $f(x)=g(mx+b)\;$ $\Rightarrow\;$ $f'(x)=m\cdot g'(mx+b)$ Beispiele $f(x)=(\color{#f00}{2}x-4)^\color{#1a1}{5}$ Hier ist $m=2$; die fünfte Potenz wird nach der Potenzregel abgeleitet: $f'(x)=\color{#f00}{2}\cdot \color{#1a1}{5}(2x-4)^{\color{#1a1}{5}-1}=10(2x-4)^{4}$ $f(x)=8(5\color{#f00}{-}x)^{-2}$ Gleiches Prinzip mit $m=-1$: $f'(x)=\color{#f00}{-1}\cdot 8\cdot (-2)(5-x)^{-2-1}=16(5-x)^{-3}$ $f(x)=\cos(\color{#f00}{0{, }5}x-1)$ Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.
Die Bezeichnung der Funktionen spielt jedoch keine Rolle, die Regel würde dann wie folgt lauten: Beispiele Kettenregel: \(f(x)=(2x^2-4)^5\) \(\rightarrow f'(x)=5\cdot(2x^2-4)^4\cdot 4x\) \(f(x)=sin(2x)\) \(\rightarrow f'(x) =cos(2x)\cdot 2\) \(f(x)=e^{x^2}\) \(\rightarrow f'(x) =e^{x^2}\cdot 2x\) Aufgaben: Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel ab.
Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen u u und v v auszurechnen: Das Multiplizieren mit v ′ ( x) v'(x) heißt auch Nachdifferenzieren. Um die Ableitung der Verkettung von u u und v v zu berechnen, setzt man also v ( x) v\left(x\right) in die Ableitung u ′ u' ein und differenziert nach. Einfach gesagt: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Kettenregel ableitung beispiel. ": Zerlegung der Funktion in innere und äußere Funktionen Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion f f mit f ( x) = ( x + 1) 2 f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2. Wir möchten sie mit der Kettenregel abgeleiten. Dazu muss f f zunächst in die beiden Teilfunktionen u u und v v zerlegt werden. Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir u u als " a ¨ u ß e r e \textcolor{red}{äußere} F u n k t i o n \textcolor{red}{Funktion} " und v v als " i n n e r e \textcolor{darkcyan}{innere} F u n k t i o n \textcolor{darkcyan}{Funktion} " betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion v ( x) = x + 1 \textcolor{darkcyan}{v\left(x\right)=x+1}.
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