Gelegentlich muss man die Binomialverteilung durch die Gaußverteilung annähern. (Vor allem wenn die Zahlen so groß sind, dass jeder Taschenrechner aussteigt [das geht relativ schnell]). Das ist erlaubt wenn die sogenannte "Laplace Bedingung" erfüllt ist, also wenn die Standardabweichung größer als 3 ist. Ist das der Fall, kann die Annäherung durchgeführt werden, d. h. statt der Binomialverteilung verwendet man nun die Standard-Normal-Verteilung (=SNV). Die SNV taucht auch unter dem Namen "Phi-Funktion" oder "Gauß´sche Fehlerfunktion". Formel von moivre salon. Der ganze Prozess der Annäherung heißt: "Näherungsformel von Moivre-Laplace" oder "Satz von Moivre-Laplace" oder "Laplace-Formel".
Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) und jede natürliche Zahl der Zusammenhang gilt. [1] Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre, [2] der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Moivre-Formel - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft. Jahrhunderts fand. [3] De Moivre selbst hatte die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton [4] und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte). Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck kann auch verkürzt als dargestellt werden. Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung abgeleitet werden.
Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme) per vollständiger Induktion. Verallgemeinerung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wenn dann ist eine mehrwertige Funktion, aber nicht Dadurch gilt Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Einheitswurzel Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 – Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900–1903). De Moivresche Formel - Lexikon der Mathematik. Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7. Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Kerner und Wahl (2007), S. 70 ↑ Braunmühl (1971), Teil 2 S. 75 ↑ Braunmühl (1971), Teil 2 S. 78 ↑ Nahin, An imaginary tale, Princeton University Press 1998, S. 56
Lexikon der Mathematik: de Moivresche Formel wichtige Formel innerhalb der Funktionentheorie, die eine Zerlegung von komplexen Zahlen der Form (cos φ + i sin φ) n in Real- und Imaginärteil liefert. Die Formel lautet \begin{eqnarray}{(\cos \phi +i\sin \phi)}^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \end{eqnarray} für φ ∈ ℝ und n ∈ ℕ. Wendet man auf die linke Seite die Binomische Formel an und trennt anschließend in Realund Imaginärteil, so erhält man Darstellungen von cos nφ und sin nφ als Polynom in cos φ und sin φ, z. Satz von Moivre. B. \begin{eqnarray}\cos 3\varphi ={\cos}^{3}\varphi -3\cos \varphi {\sin}^{2}\varphi, \\ \sin 3\varphi =3{\cos}^{2}\varphi \sin \varphi -{\sin}^{3}\varphi. \end{eqnarray} Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
Nun sind der Realteil und der Imaginärteil geordnet: (cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i [(sin kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (senƟ)]. Um den Ausdruck zu vereinfachen, werden die trigonometrischen Identitäten der Winkelsumme für den Cosinus und den Sinus angewendet, die: cos (A + B) = cos A. * cos B - sin A. * sen B. sin (A + B) = sin A. * cos B - cos A. * cos B. Formel von moivre meaning. In diesem Fall sind die Variablen die Winkel Ɵ und kƟ. Unter Anwendung der trigonometrischen Identitäten haben wir: cos kƟ * cosƟ - sen kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ) sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = sin (kƟ + Ɵ) Auf diese Weise lautet der Ausdruck: z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ)) z k + 1 = r k + 1 (cos [(k + 1) Ɵ] + i * sin [(k + 1) Ɵ]). Somit konnte gezeigt werden, dass das Ergebnis für n = k + 1 gilt. Aus dem Prinzip der mathematischen Induktion wird geschlossen, dass das Ergebnis für alle positiven ganzen Zahlen gilt; das heißt, n ≥ 1. Negative ganze Zahl Der Satz von Moivre wird auch angewendet, wenn n ≤ 0 ist.
Im Folgenden sollen für die einzelnen Rechenoperationen die entsprechenden Formeln hergeleitet werden. Dazu seien z 1 u n d z 2 komplexe Zahlen mit z 1 = r 1 ( cos ϕ 1 + i sin ϕ 1) und z 2 = r 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2).