Berechne dann die mittlere Änderungsrate der Funktion Tage ⟶ Höhe für a) den gesamten Messzeitraum, b) für die ersten drei Tage, c) für die letzten drei Tage, d) für die mittleren drei Tage. Aufgabe A4 (4 Teilaufgaben) Lösung A4 Aufgabe A4 (4 Teilaufgaben) Bei einer Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde die Anzahl der Bakterien. Zu Beginn der Messung waren etwa 12000 Bakterien vorhanden. Bestimme die mittlere Änderungsrate der Bakterienzahl für das angegebene Intervall I. a) I=[3h;8h] I=[1h;5h] I=[10h;12h] I=[101h;105h] Du befindest dich hier: Mittlere Änderungsrate - Level 2 - Fortgeschritten - Blatt 1 Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Mittlere Änderungsrate: Erklärung & Beispiele | StudySmarter. Juli 2021
Stetigkeit und Differenzierbarkeit beschreiben unterschiedliche Eigenschaften reeller Funktionen. Jedoch kann man sagen: Wenn eine Funktion an einer Stelle ihrer Definitionsmenge differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig. Aber nicht jede an einer Stelle ihrer Definitionsmenge stetige Funktion ist dort auch differenzierbar. Beispielsweise ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar. Differenzenquotient ≠ Differenzialquotient Du hast sicher schon einmal vom Differenzialquotienten gehört. Mittlere Änderungsrate - Level 2 Fortgeschritten Blatt 1. Dieser klingt sehr ähnlich, wie der Differenzenquotient, ist aber nicht das Gleiche. Der Differenzenquotient hängt mit der mittleren Änderungsrate zusammen, während der Differenzialquotient mit der lokalen bzw. momentanen Änderungsrate zusammenhängt. Hier fassen wir dir das wichtigste zu diesem Thema zusammen: Wenn der Punkt Q immer näher an den Punkt P heran rückt, bis er ihn grenzwertig erreicht, ergibt sich die momentane Änderungsrate. Für die Tangentensteigung und damit die momentane Änderungsrate erhält man: Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient und entspricht der itung an der Stelle.
Verschieben Sie X auf dem Intervall und beobachten Sie, wie sich der Abstand der y-Werte von X und X̃ zueinander verändert. Beschreiben Sie: Wo ist der Abstand klein, wo groß? In welchen Intervallabschnitten wird die Funktion durch die Näherung am besten beschrieben? Wenn ein Wert X auf dem Graphen das Intervall [0, 6] zur Hälfte (zu einem Drittel) durchlaufen hat, wie groß sind der tatsächliche und der geschätzte Zuwachs im Punkt X? Zerlegen Sie das Intervall [0, 6] in kleinere Intervalle, auf denen die Funktion f besser durch die Geradensabschnitte PQ angenähert wird. Bestimmen Sie jeweils die mittlere Änderungsrate. Ermitteln Sie rechnerisch die mittlere Änderungsrate auf dem gesamten Intervall aus den mittleren Änderungsraten auf den Teilintervallen. Arbeitsblatt mittlere änderungsrate bestimmen. Bestimmen Sie zu den gegebenen Funktionen die Änderungsraten auf den Intervallen: I 1 = [-1, 0], I 2 = [0, 1], I 3 = [1, 3], I 4 = [3, 6] f(x) = x 2 - 2; f(x) = (x-4) 2; f(x) = 12 / (x+2); f(x) = 2 x. Betrachten Sie die Funktion f(x) = x 3 – 3x + 1.
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Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4, 17 cm: 3 s = 1, 39 cm/s zu. d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1, 33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1, 33 cm = 6, 67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6, 67 cm: 9 s = 0, 741 cm/s. e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17, 58 cm - 0, 51 cm = 17, 07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17, 07 cm: 18 s = 0, 948 cm/s. Momentane Änderungsrate Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z. B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe. Aufgabe 4 Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt t 0 = 12 Sekunden zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von... a)... t 0 = 12 Sekunden und t 1 = 13 Sekunden b)... t 0 = 12 Sekunden und t 1 = 12, 5 Sekunden c)... Mathehappen.de - Steigung und Ableitung : Mittlere Änderungsrate. t 0 = 12 Sekunden und t 1 = 12, 1 Sekunden d)... t 0 = 12 Sekunden und t 1 = 12, 05 Sekunden e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.