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Aufgabe: Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{2} e^{-x} \). a. Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion \( f \) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \( f \) mit den Koordinatenachsen. b. Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie und Asymptoten. c. Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen. d. Skizzieren Sie den Graphen von \( f \) für \( -1 Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Stetigkeit. Die Stetigkeit einer Funktion
Den Begriff "stetig" bzw. "Stetigkeit" kann man anschaulich und mathematisch erklären. Die anschauliche Erklärung des Begriffes "Stetigkeit" einer Funktion kennt jeder mit der Aussage "der Graph einer Funktion macht keine Sprünge (d. h. der Funktionsgraph lässt sich (ohne Absetzen eines Stiftes) als durchgezogene Linie zeichnen) dies nicht der Fall, ist die entsprechende Funktion nicht stetig. Mathematisch ist der Begriff "stetig" etwas präziser definiert. Eine Funktion ist stetig, wenn die Funktion an allen Stellen stetig ist. Eine Stelle der Funktion ist stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist und dieser mit dem Funktionswert übereinstimmen. Funktionen analysieren
Unter "Funktionsanalyse" bzw. "Kurvendiskussion" in der Differenzialrechnung wollen wir die Untersuchung der Graphen von Funktionen auf deren geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen (Globalverhalten) u. a. m. verstehen. Diese Informationen erlauben es uns, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind. Heute ist es nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, den Menschen dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des Graphen der Funktion zu produzieren: das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) besser. Ziel der Kurvendiskussion ist vielmehr,
die Koordinaten der charakteristischen Punkte eines Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen);
charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen. Aufgabe A1 (4 Teilaufgaben)
Betrachte die Funktion. a)
Gib den maximalen Definitionsbereich von f an. Untersuche f auf
b)
Nullstellen;
c)
stetig hebbare Definitionslücken und Polstellen. Sind stetig hebbare Definitionslücken vorhanden, gib die stetig ergänzte Funktion f * sowie die Lückenwerte an. Untersuche das Vorzeichenverhalten der Polstellen von f;
und errechne
eine Asymptoten-Gleichung, mit der das Verhalten von f für x→±∞ beschrieben werden kann.Kurvendiskussion E Funktion Aufgaben En
Kurvendiskussion E Funktion Aufgaben Der