Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit), so erhalten wir die beiden Formeln: Wir lösen die erste Formel zunächst nach n auf: und setzen sie in die zweite Formel ein: Jetzt lösen wir diese Formel nach m auf: Mit anderen Worten entspricht die Steigung einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Differenz der Funktionswerte zu der Differenz ihrer Argumente. y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen Kennen wir wiederum zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit und beide ungleich 0), so erhalten wir die beiden Formeln: Jetzt lösen wir die erste Forml nach m auf: und setzen sie in die zweite Formel ein: Jetzt lösen wir diese Formel nach n auf: Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen. Eine lineare Funktion, deren Steigung m nicht gleich 0 ist, ist eine ein-eindeutige Abbildung zwischen ihrem Definitionsbereich und ihrem Wertebereich.
Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertebereich Etwas vereinfacht gesprochen, können wir sagen: Der Definitionsbereich der Funktion ist der Wertebereich der Umkehrfunktion. Der Wertebereich der Funktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion Eine Funktion $f(x)=x^n$, $n\in\mathbb{N}$, heißt Potenzfunktion. Die Umkehrbarkeit von Potenzfunktionen hängt von dem Exponenten ab. Es gibt gerade und ungerade Exponenten. Ungerade Exponenten Für alle ungeraden Exponenten ist die Funktion umkehrbar. Es gilt dann $\mathbb{D}_f=\mathbb{W}_f=\mathbb{R}$. Die Umkehrfunktion zu $f(x)=x^3$ ist die dritte Wurzel $f^{-1}(x)=\sqrt[3](x)$. Die Umkehrfunktion zu $f(x)=x^5$ ist die fünfte Wurzel $f^{-1}(x)=\sqrt[5](x)$.... Die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion Stellvertretend für die geraden Exponenten wollen wir uns die quadratische Funktion ansehen. Wenn man den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ auf den positiven x-Achsenbereich einschränkt, also $\mathbb{D}_f=\mathbb{W}_f=\mathbb{R}^+_0$, kann man diesen Graphen an der Funktionsgeraden zu $f(x)=x$ spiegeln.
$x$ und $f(x)$ vertauschen $0, 5 \cdot f(x) - 0, 5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$ $f(x) = 0, 5 \cdot x - 0, 5$ Hinweis Hier klicken zum Ausklappen Um deutlich zu machen, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt, schreibt man anstatt $f(x)$ auch $f^{-1}(x)$. $\rightarrow f^{-1}(x) = 0, 5 \cdot x - 0, 5$ Schauen wir uns einige weitere Beispiele an, um das Vorgehen besser zu verstehen.
Es müssen also Fälle unterschieden werden. Dieses Problem haben alle Funktionen mit geraden Exponenten.
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