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Aus folgt, also und damit. Es ist dann Fall 2: Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist Fall 3: Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten] Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt: Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich: Daraus folgt: Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten] Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird: Eigenschaft des Betrags Eigenschaft für den Abstand Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten] Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten] Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null) Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null) Für ist.
Jede reelle Zahl, die größer ist als das Maximum zweier beliebiger reellen Zahlen und, ist auch größer als beide Zahlen. Umgekehrt gilt auch: Jede reelle Zahl, die kleiner ist als das Minimum zweier beliebiger reellen Zahlen und ist auch kleiner als beide Zahlen. Beweis (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. ) Beweisschritt: Nach der Definition des Maximums gilt. Hier müssen wir also zwei Fälle untersuchen: und den umkehrten Fall. Durch die Trichotomie muss hier gelten, da und bereits im ersten Fall betrachtet werden. Fall 1: Da nun nach Definition des Maximums gilt können wir einsetzen und erhalten damit die immer wahre Aussage. Übersicht zu linearen Funktionen. Daher wissen wir nun durch die Trichotomie und können über die Transitivität folgern. (Beachte, das nach Definition und äquivalent sind. ) Fall 2: ("sonst") Im zweiten Fall können wir setzen und wir wissen bereits, dass sein muss. Also können wir schreiben. Die Transitivität sagt uns, dass wir diesen Ausdruck auch als schreiben können. Der Ausdruck ist aber nach der Definition von immer Wahr.
Beweis (Dreiecksungleichung) Aus und folgt ("Monotonie der Addition"). Analog folgt aus und, dass, also ist (wiederum "Monotonie der Addition"). Da entweder oder ist, ist auch. Lineare funktionen übersicht pdf en. Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term eingeschoben werden, also Der Abstand kann also über die Abstände und nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet. Abschätzung des Abstands nach unten [ Bearbeiten] Satz (Abschätzung des Abstands nach unten) Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten) Es ist und damit nach Umformung der Ungleichung Analog folgt aus die Ungleichung Insgesamt ist also sowohl als auch kleiner als. Damit ist Betrag des Quotienten [ Bearbeiten] Satz (Betrag des Quotienten) Für Quotienten ist Beweis (Betrag des Quotienten) Es ist wegen der Multiplizität des Betrags: Durch Multiplikation von auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung. Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten) Gegeben sei.
Mögliche Unterrichtsbausteine Wiederholung Proportionalität, Antiproportionalität ( Auftrag) Graphen von Proportionalitäten (im Vergleich dazu von Antiproportionalitäten) Üben und Festigen der Begriffe mit erstellten Aufgabenkarten (1) ( Vorlage) Begriff der Steigung ( Auftrag und Vorlage, Anwendungsaufgaben zum Vertiefen und Festigen: z. B. aus Mathematikbuch 3, Lernumgebung 18 – S. 41, Nr. Lineare funktionen übersicht pdf version. 3 und 4) Geraden ( Einstieg, Vertiefung, Spiel) Üben und Festigen (2) Achtung: Bei einigen Aufgaben machen eigentlich nur die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge Sinn. Hier ist es wichtig, mit den SuS über den Modellierungsgedanken zu sprechen und Vor- und Nachteile zu diskutieren. (1) Zu Beginn einer Stunde kommt ein/e Schüler/in nach vorne, zieht eine Karte, entscheidet, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt (oder um keine von beiden, falls solche Karten dabei sind), füllt am OHP eine Wertetabelle aus, skizziert dann den zugehörigen Graphen und gibt die Zuordnungsvorschrift an.
Sei, so dass. Nun aber gilt (Betrag des Quotienten):. Daraus folgt (durch Rücksubstitution), dass.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit konstanter Steigung der Form: y=mx+t Dabei gibt m die Steigung an je größer m ist, desto steiler steigt/fällt die Funktion ist m positiv, steigt die Funktion ist m negativ, fällt die Funktion t den y-Achsenabschnitt. (also den Schnittpunkt mit der y-Achse) f(x)=y Lasst euch nicht verwirren, falls euer Lehrer f(x) statt y schreibt, das bedeutet dasselbe. Die Erklärung wie man Nullstellen genau berechnet, findet ihr unter Nullstellen. Lineare funktionen übersicht pdf de. Wenn ihr wissen wollt, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, setzt ihr die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein, wenn die Gleichung dann stimmt (also wenn links und rechts dieselbe Zahl rauskommt), liegt der Punkt auf der Geraden, wenn nicht liegt er daneben. Beispiel: Gegeben ist der Punkt P(1I3) und die Funktion f: y=x+2 Man setzt den Punkt in die Gleichung ein: 3=1+2 -> Der Punkt liegt auf der Geraden, da die Gleichung aufgeht 3=3. Liegt der Punkt P(3|4) auf der Geraden f(x)=x+1? Einblenden Liegt der Punkt A(4|1) auf der Geraden f(x)=4x-1?
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